Enunciado

Obtenha o campo gravitacional e o potencial produzidos por um anel de massa m e raio R , nos pontos do eixo perpendicular ao plano do anel e que passa por seu centro.

Passo 1

E aí, beleza?? Para o campo gravitacional, temos que o vetor resultante nesse eixo será vertical, devido à simetria do problema. Desse modo, para um d m , temos:

d g = G d m R 2 + z 2 ⋅ z R 2 + z 2 = G z R 2 + z 2 3 2 d m  

Em que z / z 2 + R 2 corresponde ao seno do ângulo que o vetor que liga o ponto ( 0,0 , z ) a um ponto do anel faz com a horizontal. Assim, integrando:

g → z = - G m z R 2 + z 2 3 2 z ^

Passo 2

Para o potencial, como todos os pontos do anel distam R 2 + z 2 do ponto em questão, temos:

V = G m R 2 + z 2

Resposta

g → z = - G m z R 2 + z 2 3 2 z ^

V = G m R 2 + z 2

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