Enunciado

Um cometa de massa m é observado a uma distância de 1 0 11   m do Sol, movendo-se, em direção ao mesmo, com uma velocidade de 5,16 × 10 4   m / s , formando um ângulo de 45 ° com o raio vetor dirigido a partir do Sol. Obtenha, com relação ao cometa, (a) a energia total e o momento angular, (b) a equação da órbita, (c) a distância de máxima aproximação do Sol. Note quais os resultados que dependem da massa do cometa e quais os que não dependem. Utilizando um papel de gráfico polar, faça um gráfico da trajetória do cometa.

Passo 1

E aí, beleza?? A energia e o momento angular são dados por:

E = 1 2 m v 2 - G M m r ≈ m ⋅ 1,06 × 10 7 J

L = m v r   s e n 45 ° ≈ m ⋅ 3,65 × 10 15 m 2 k g / s

Passo 2

Sabendo o momento angular e a energia, conseguimos determinar a excentricidade e o semi-eixo maior da elipse:

E = - G M m 2 a ∴ a = - G M 2 E

L = m a 1 - e v p e r

- G M m 2 a = 1 2 m v p e r 2 - G M m a 1 - e

Portanto:

L 2 2 m 2 a 2 1 - e 2 = G M a 1 1 - e - 1 2

Isolando a excentricidade, temos:

e = 1 + 2 E L 2 G 2 M 2 m 3

Assim, a equação da trajetória fica:

r θ = a 1 - e 2 1 + e cos ⁡ θ

Passo 3

A distância de máxima aproximação é:

d = a 1 - e 1 + e

Passo 4

Numericamente, temos:

r = 1,009 × 10 11 1 + 24,5 cos ⁡ θ

d = 5 × 10 10 m

O gráfico da trajetória é uma hipérbole, uma vez que a excentricidade é maior que 1

Resposta

E ≈ m ⋅ 1,06 × 10 7 J

L ≈ m ⋅ 3,65 × 10 15 m 2 k g / s

r = 1,009 × 10 11 1 + 24,5 cos ⁡ θ

d = 5 × 10 10 m

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