Compare as definições e as dimensões da radiância espectral R T ν , da radiância R T e a densidade de energia ρ T ν .

Passo 1

Já discutimos um pouco essa situação na questão 7 deste capítulo. Vamos relembrar...

Vimos que a radiância espectral R T ν se relaciona com a densidade de energia espectral ρ T ν por

ρ T ν = k   R T ν ,

onde k é uma constante de proporcionalidade que tem dimensão de inverso de velocidade, ou ainda,

k = T L

Lembre-se que T representa unidade de tempo, L representa unidade de comprimento e M representa unidade de massa.

Passo 2

A radiância total R T nada mais do que a potência por unidade de área transportada pela radiação. Ela se relaciona com a radiância espectral pela integral:

R T = ∫ R T ν   d ν ,

que é feita sobre todo o espectro de frequências. Com isso, as dimensões de R T e R T ν   Δ ν devem ser iguais. Portanto,

R T = R T ν   Δ ν

Usando as unidades do Sistema Internacional, temos

W m 2 = R T ν ⋅ s - 1

Lembre-se que Δ ν = H z = s - 1 . Portanto,

R T ν = W   s m 2

Mas sabemos que W = J / s , de modo que W   s = J . Assim,

R T ν = J m 2

Passo 3

Já para densidade de energia espectral a ideia é bem parecida. A densidade total de energia tem dimensão de energia por volume:

ρ T = J m 3

Ela é dada pela integral da densidade espectral ρ T ν :

ρ T = ∫ ρ T ν   d ν

Com isso, a análise dimensional nos dá

ρ T = ρ T ν   Δ ν → J m 3 = ρ T ν   s - 1

Portanto,

ρ T ν = J   s m 3 = J m 2 ⋅ s m = R T ν ⋅ s m

Resposta

A radiância total é a integral da radiância espectral na frequência. A densidade de energia espectral é proporcional a radiância espectral, de modo que a densidade de energia total também é proporcional a radiância total.

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