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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 11

Complete o Ex. 11.5 deduzindo as coordenadas da partícula como funções do tempo e compare com os resultados não relativísticos. Mostre que a equação da trajetória é:

y = E 0 F cosh ⁡ F x p 0 c

Passo 1

E aí, beleza?? Podemos integrar as velocidades para obter:

x t = c 2 p o ∫ 0 t d t E 0 2 + c 2 F 2 t 2   = c 2 p 0 c F   tanh - 1 ⁡ c F t E 0 2 + c 2 F 2 t 2 0 t

Portanto:

x t = p 0 c F tanh - 1 ⁡ c F t E 0 2 + c 2 F 2 t 2

E para y :

y t = c   ∫ 0 t c F t   d t E 0 2 + c 2 F 2 t 2   = c c F E 0 2 + c 2 F 2 t 2 0 t

Ou seja:

y t = 1 F E 0 2 + c 2 F 2 t 2 - E 0

Passo 2

Isolando o tempo na função de x ( t ) :

c F t E 0 2 + c 2 F 2 t 2 = tanh ⁡ F x p 0 c

Portanto:

c F t = E 0 tanh ⁡ F x p 0 c 1 - tanh 2 ⁡ F x p 0 c = E 0   s e n h F x p 0 c

Passo 3

Por fim, substituindo, temos:

y x = E 0 F 1 + s e n h 2 F x p 0 c - 1 = E 0 F cosh ⁡ F x p 0 c - 1

Perceba que essa é a equação correta dada que a posição inicial é ( 0,0 ) . Note que no caso não relativístico, podemos aproximar a expressão para:

cosh ⁡ F x p 0 c ≈ 1 + 1 2 F 2 p o 2 c 2 x 2  

Logo

y x = E 0 F   1 2 F 2 p o 2 c 2 x 2 = 1 2   m 0 c 2 F m 0 2 v 0 2 c 2   x 2 = 1 2 F / m 0 v 0 2 x 2

Ou seja:

y = 1 2 F / m 0 v 0 2 x 2

Que é justamente a função esperada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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