Enunciado

Qual é o comprimento de onda de um átomo de hidrogênio que se move com uma velocidade correspondente à energia média no equilíbrio térmica a 20 ° C ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Antes de pensar em achar o comprimento de onda, precisamos encontrar a energia cinética da partícula. Mas como fazer isso?

O truque é lembrar do teorema da equipartição da energia: a energia média de uma partícula submetida a um equilíbrio térmico de temperatura T é

K = 3 2 k B T ,

onde o fator 3 aparece pelos três graus de liberdade de translação e k B = 8,63 ⋅ 10 - 5   e V / K . Assim, considerando T = 20   ° C = 293   K :

K = 3 2 ⋅ 8,63 ⋅ 10 - 5 ⋅ 293 = 0,0379   e V

Passo 2

O comprimento de onda de de Broglie é dado por

λ = h p

Mas o momento se relaciona com a energia cinética por

K = p 2 2 m → p = 2 m K

Assim,

λ = h 2 m K = h c 2 m c 2 K

Sabemos que h c = 1240   e V   n m e K = 0,0379   e V . Mas e o termo m c 2 ? Qual a massa de repouso do átomo de hidrogênio?

Sabemos que o átomo de hidrogênio é composto por um próton e um elétron. Isso significa que a massa do átomo é simplesmente a soma das massas do próton e do elétron? A resposta é não!

Lembre-se que massa é energia e temos que considerar também a energia de interação entre o próton e o elétron nessa jogada, o que diminui a massa do átomo de hidrogênio. Isso significa na prática que

m h i d r o g e n i o < m e l e t r o n + m p r o t o n

Eu sei que isso parece loucura, mas a natureza é meio louca as vezes mesmo...

Mas eai, como estimar a massa de hidrogênio? O truque vai ser o seguinte: a energia de interação entre o elétron e o próton é tão menor que suas energias de repouso que podemos aproximar

m h i d r o g e n i o ≈ m e l e t r o n + m p r o t o n

Mais que isso, sabemos que a massa do próton é muito maior que a elétron, de modo que podemos aproximar:

m h i d r o g e n i o ≈ m p r o t o n

Essa aproximação é exata? Óbvio que não, mas ela é bastante razoável para os nossos propósitos!

Passo 3

A energia de repouso do próton é m c 2 = 938   M e V , de modo que

λ = 1240   e V   n m 2 ⋅ 938 ⋅ 10 6   e V ⋅ 0,0379   e V

Fazendo as contas:

λ = 0,147   n m = 1,47 ⋅ 10 - 10   m

Com isso finalizamos o problema 😉.

Resposta

λ = 0,147   n m = 1,47 ⋅ 10 - 10   m

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