O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor do que uma dimensão linear da partícula? Pode ser maior? Há necessariamente alguma relação entre essas grandezas?

Passo 1

O comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com momento linear p é dado por

λ = h p

Vamos lembrar também do princípio da incerteza:

Δ x   Δ p > h 4 π

Isso significa que o produto da incerteza da posição pela incerteza do momento deve ser maior que h / 4 π .

Passo 2

Podemos estimar a incerteza na posição como sendo uma dimensão linear L da partícula, de modo que

L   Δ p > h 4 π

Substituindo h = λ p , temos

L   Δ p > λ p 4 π

Com isso,

λ < 4 π Δ p p L

Essa relação não nos diz muita coisa...

Por exemplo, se a incerteza do momento não for muito grande, devemos ter

Δ p p ≪ 1 → 4 π Δ p p L < L → λ < L

Por outro lado, se a incerteza do momento for grande, podemos ter

4 π Δ p p L > L ,

de modo que não é possível saber se λ < L ou se λ > L . Portanto, não há como saber necessariamente se um é maior que o outro, vai depender um pouco da situação...

Resposta

Não há como saber necessariamente.

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