O comprimento de onda da emissão espectral amarela do sódio é 5890   Å . Com que energia cinética um elétron teria o mesmo comprimento de onda de de Broglie?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro você deve lembrar que o comprimento de onda de uma partícula é dado por

λ = h p

Isolando o momento, temos

p = h λ

Aqui eu vou usar um truque: ao invés de calcular p , quero calcular p c , onde c é a velocidade da luz:

p c = h c λ

Uma constante muito útil para você saber é h c = 1240   e V   n m . Assim, considerando λ = 5890   Å = 589   n m , temos

p c = 1240   e V   n m 589   n m = 2,1   e V

Passo 2

Eu sei que você está louco para falar que p = m v e K = m v 2 / 2 e achar a energia cinética. Mas temos que tomar cuidado! É necessário verificar se o movimento do elétron é relativístico ou não.

Para isso, lembramos que

E 2 = p c 2 + m c 2 2

Se p c for muito pequeno comparado com m c 2 , os efeitos relativísticos podem ser desprezados. Para o elétron, temos

m c 2 = 511   k e V

Bom, m c 2 = 511   k e V é muito maior que p c = 2,1   e V . Portanto, o regime é não relativístico e podemos usar a relação

K = p 2 2 m

Por conveniência, vamos escrever

K = p c 2 2 m c 2

Daí,

K = 2,1   e V 2 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V

Fazendo as contas:

K = 4,31 ⋅ 10 - 6   e V

Essa é a energia cinética do elétron, muito menor que sua energia de repouso m c 2 = 511   k e V .

Resposta

K = 4,31 ⋅ 10 - 6   e V

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