Obtemos ν m a x para o espectro de corpo negro fazendo d ρ T ν / d ν = 0 , e λ m a x fazendo d ρ T λ / d λ = 0 . Por que não é possível obter a partir de λ m a x T = c o n s t que ν m a x = c o n s t ⋅ T , simplesmente usando-se λ m a x = c / ν m a x ? Isto é, por que é errado supor que ν m a x λ m a x = c , onde c é a velocidade da luz?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse exercício é bem legal e ilustra um fato muito interessante!

A lei de Planck da radiação fornece ρ T ν como função de ν . É possível encontrar a frequência ν m a x que maximiza essa curva, encontrando-se

ν m a x ∝ T

Da mesma forma, é possível fazer uma mudança de variável e exprimir ρ T como função de λ usando λ ν = c e, daí, achar λ m a x que maximiza ρ T λ . Fazendo isso, encontra-se

λ m a x T = c o n s t → λ m a x ∝ 1 T

É natural pensar que ν m a x λ m a x = c . Mas isso não corresponde à realidade!

Passo 2

O motivo é que não basta apenas trocar ν por c / λ na expressão de ρ T ν . É necessária considerar que

∫ ρ T ν   d ν = ∫ ρ T λ   d λ

Desta forma,

ρ T λ   d λ = - ρ T ν   d ν

O sinal de aparece pois os limites de integração são invertidos: lembre-se que quanto maior a frequência, menor é o comprimento de onda!

Usando ν = c / λ , temos

d ν = d ν d λ d λ = - c λ 2 d λ

Assim,

ρ T λ   d λ = - - c λ 2 ρ T ν   d λ → ρ T λ = c λ 2 ρ T ν

Agora é só substituir ν = c / λ que achamos a expressão correta:

ρ T λ = c λ 2 ρ T ν = c λ

Observe que além de trocar ν por c / λ , ganhamos um fator extra c / λ 2 que muda completamente a função que vamos minimizar. Por isso a relação ν m a x λ m a x = c não vale!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro