Enunciado

Considere um aglomerado de massas m., mv m3 , ... (Fig. 13.37) Mostre que o potencial gravitacional num ponto A, a uma distância grande comparada às dimensões do aglomerado, pode ser expresso por

V = - γ ( M r + P r 2 + Q r 3 + … )

onde M = :E; m; é a massa total, P = :E, P, cos 0, é o momento de dipolo da distribuição

de massa relativamente a O A, Q = I., 1⁄2 P;2 ( 3 cos2 0; -1) é o momento de quadrupolo

da distribuição de massa e assim sucessivamente. [Sugestão: use os resultados do Prob. 13.80 para cada massa e adicione.] Os termos "dipolo" e "quadrupolo" serão explicados no Cap. 14 (Volume lI).

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro vamos destacar aqui as informações que é dada no enunciado:

d 1 = 1,20   c m

H = 2,00   m

ρ m a r = 1030   k g / m ³

Show, agora vamos calcular a pressão que era gerada:

P =   ρ m a r . g . ∆ H + P a t m

P = 1030 k g m 3 . 9,8 m s 2 . 2,00 m + 1,00 . 10 5   P a

P = 1,202 × 10 5   P a

Agora que temos a Pressão, vamos calcular a força:

P =   F A

F = 1,202 × 10 5 × ( 0,60 × 10 - 2 ) ² π

F = 13,6   N

Passo 2

Show, agora vamos descobrir o tempo necessário para encher 1 Acre de terra até uma profundidade de 1 pé. Para isso, vamos começar a converter as unidades:

1   a c r e = 4047   m ²

1   p é = 0,3048   m

Com isso, para a gente achar o volume:

V = 4047 × 0,3048

V = 1233,53   m ³

Beleza, agora vamos encontrar a velocidade com que a água sai do dique. Para isso, vamos usar a fórmula:

v = 2 ( P - P a t m ) ρ + 2 g H

v = 2 ( 1,202 × 10 5 - 1,00 × 10 5 ) 1030 + 2 × 9,8 × 2

v = 8,86   m ³ / s

Show, agora que temos a velocidade e o volume que precisamos encher, vamos achar o tempo:

v =   ∆ V ∆ t

∆ t =   1233,53 8,86 = 139,22   s e g u n d o s

Resposta

F = 13,6   N

∆ t =   139,22   s

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