Considere duas cavidades de material e formato arbitrários, as duas a uma mesma temperatura , ligadas por um tubo estreito no qual podem ser colocados filtros de cor que vão permitir a passagem apenas de radiação com uma dada frequência .
a) Suponha que em uma certa frequência , para a cavidade 1 seja maior que para a cavidade 2. Um filtro que permite a passagem apenas da frequência é colocado no tubo que liga as duas cavidades. Discuta o que vai acontecer em termos de fluxo de energia.
b) O que vai acontecer com as respectivas temperaturas?
c) Mostre que isso violaria a segunda lei da termodinâmica; portanto, prove que todos os corpos negros a uma mesma temperatura devem emitir radiação térmica com o mesmo espectro, independentemente dos detalhes de sua composição.
Passo 1
A ideia é a seguinte: pense em dois corpos negros à mesma temperatura ligados por um tubo que só permite a passagem de radiação em uma determinada frequência:
O corpo negro vai emitir radiação de energia com frequência que vai ser absorvida pelo corpo 2, enquanto o corpo 2 vai emitir radiação de energia na mesma frequência que vai ser absorvida pelo corpo 1. Com isso, a variação de energia do corpo 1 será a energia que ele absorve menos a que ele emite:
Para corpo 2 vale a mesma coisa:
Podemos imaginar essa energia como sendo um “calor” trocado entre os corpos.
Passo 2
Por hipótese, como é maior para a cavidade 1 do que para cavidade 2, temos que
Isso significa que e . Desta forma, o corpo 1 estaria perdendo energia e o corpo 2 estaria ganhando. Isso responde o item (a).
Isso significaria que o corpo 1 estaria emitindo mais energia do que absorvendo, e o corpo 2 estaria fazendo o contrário. Sabemos que se um corpo negro está em equilíbrio térmico, a energia que ele absorve é a mesa energia que ele emite, o que permite sua temperatura permanecer constante. Na situação descrita pelo problema, isso não ocorre: o corpo 1 deve diminuir sua temperatura e o corpo 2 deve ter sua temperatura aumentada. Isso responde o item (b).
Passo 3
Essa situação viola completamente a segunda lei da termodinâmica: se um sistema está em equilíbrio térmico (as duas cavidades inicialmente com a mesma temperatura ), é impossível que haja um fluxo de energia líquido de um corpo para outro de modo que suas temperaturas se tornem diferentes, a menos que um agente externo aja sobre o sistema.
Na situação descrita, não há nenhum agente externo agindo, de modo que é impossível que ela ocorra. Desta forma, a hipótese leva a um absurdo, de modo que ela deve ser descartada. Da mesma forma, se supusermos que , chegaremos na mesma conclusão invertendo os papéis dos corpos 1 e 2.
Portanto, a conclusão que tiramos é que o único caso compatível com a segunda lei da termodinâmica é . Isso significa que os dois corpos negros devem emitir o mesmo espectro se estiverem na mesma temperatura!
Resposta
a) O corpo 1 estaria perdendo energia e o corpo 2 estaria ganhando.
b) A temperatura do corpo 1 deve diminuir, e a do corpo 2 aumentar.
c) Demonstração.