Considere duas cavidades de material e formato arbitrários, as duas a uma mesma temperatura T , ligadas por um tubo estreito no qual podem ser colocados filtros de cor que vão permitir a passagem apenas de radiação com uma dada frequência ν .

a) Suponha que em uma certa frequência ν ' , ρ T ν '   d ν para a cavidade 1 seja maior que ρ T ν '   d ν para a cavidade 2. Um filtro que permite a passagem apenas da frequência ν ' é colocado no tubo que liga as duas cavidades. Discuta o que vai acontecer em termos de fluxo de energia.

b) O que vai acontecer com as respectivas temperaturas?

c) Mostre que isso violaria a segunda lei da termodinâmica; portanto, prove que todos os corpos negros a uma mesma temperatura devem emitir radiação térmica com o mesmo espectro, independentemente dos detalhes de sua composição.

Passo 1

A ideia é a seguinte: pense em dois corpos negros à mesma temperatura T ligados por um tubo que só permite a passagem de radiação em uma determinada frequência:

O corpo negro vai emitir radiação de energia E 1 com frequência ν ' que vai ser absorvida pelo corpo 2, enquanto o corpo 2 vai emitir radiação de energia E 2 na mesma frequência que vai ser absorvida pelo corpo 1. Com isso, a variação de energia do corpo 1 será a energia que ele absorve menos a que ele emite:

Δ Q 1 = E 2 - E 1

Para corpo 2 vale a mesma coisa:

Δ Q 2 = E 1 - E 2

Podemos imaginar essa energia como sendo um “calor” trocado entre os corpos.

Passo 2

Por hipótese, como ρ T ν '   d ν é maior para a cavidade 1 do que para cavidade 2, temos que

E 1 > E 2

Isso significa que Δ Q 1 < 0 e Δ Q 2 > 0 . Desta forma, o corpo 1 estaria perdendo energia e o corpo 2 estaria ganhando. Isso responde o item (a).

Isso significaria que o corpo 1 estaria emitindo mais energia do que absorvendo, e o corpo 2 estaria fazendo o contrário. Sabemos que se um corpo negro está em equilíbrio térmico, a energia que ele absorve é a mesa energia que ele emite, o que permite sua temperatura permanecer constante. Na situação descrita pelo problema, isso não ocorre: o corpo 1 deve diminuir sua temperatura e o corpo 2 deve ter sua temperatura aumentada. Isso responde o item (b).

Passo 3

Essa situação viola completamente a segunda lei da termodinâmica: se um sistema está em equilíbrio térmico (as duas cavidades inicialmente com a mesma temperatura T ), é impossível que haja um fluxo de energia líquido de um corpo para outro de modo que suas temperaturas se tornem diferentes, a menos que um agente externo aja sobre o sistema.

Na situação descrita, não há nenhum agente externo agindo, de modo que é impossível que ela ocorra. Desta forma, a hipótese E 1 > E 2 leva a um absurdo, de modo que ela deve ser descartada. Da mesma forma, se supusermos que E 1 < E 2 , chegaremos na mesma conclusão invertendo os papéis dos corpos 1 e 2.

Portanto, a conclusão que tiramos é que o único caso compatível com a segunda lei da termodinâmica é E 1 = E 2 . Isso significa que os dois corpos negros devem emitir o mesmo espectro se estiverem na mesma temperatura!

Resposta

a) O corpo 1 estaria perdendo energia e o corpo 2 estaria ganhando.

b) A temperatura do corpo 1 deve diminuir, e a do corpo 2 aumentar.

c) Demonstração.

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