Considere duas esferas condutoras de raios R1 e R2, separadas por uma distância muito maior que qualquer um dos raios. Uma carga total Q é compartilhada entre as esferas. Queremos demonstrar que, quando a energia potencial elétrica do sistema tem um valor mínimo, a diferença de potencial entre as esferas é igual a zero. A carga total Q é igual a q1 + q2, onde q1 representa a carga na primeira esfera, e q2, a carga na segunda. Uma vez que as esferas estão muito afastadas uma da outra, podemos supor que a carga em cada uma delas está distribuída de modo uniforme sobre sua superfície. (a) Demonstre que a energia associada a uma única esfera condutora de raio R e carga q envolta por um vácuo é U = ke q2/2R. (b) Calcule a energia total do sistema de duas esferas como função de q1, da carga total Q e dos raios R1 e R2. (c) Para minimizar a energia, diferencie o resultado da parte (b) em relação a q1 e defina a derivada igual a zero. Resolva para q1 como função de Q e dos raios. (d) Com base no resultado da parte (c), calcule a carga q2. (e) Determine o potencial de cada esfera. (f) Qual é a diferença de potencial entre as esferas?

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Então vamos resolver essa questão bem legal aqui e passo a passo pra gente tirar 10 na provinha!

Vamo lá!

Letra a:

Podemos pensar em uma esfera de raio R que mantém a carga Q como tendo uma capacitância C = R k e . A energia armazenada é:

U = 1 2 C ( Δ V ) 2 = 1 2 R k e k c Q R 2 = k e Q 2 2 R

Passo 2

Letra b:

A energia total é:

U = U 1 + U 2 = 1 2 q 1 2 C 1 + 1 2 q 2 2 C 2 = 1 2 q 1 2 R 1 k e + 1 2 Q - q 1 2 R 2 k e = k e q 1 2 2 R 1 + k e Q - q 1 2 2 R 2

Passo 3

Letra c:

Fazemos d U d q 1 = 0 , então,

2 k e q 1 2 R 1 + 2 k e Q - q 1 2 R 2 - 1 = 0

R 2 q 1 = R 1 Q - R 1 q 1 → q 1 = R 1 Q R 1 + R 2

Passo 4

Letra d:

q 2 = Q - q 1 = R 2 Q R 1 + R 2

Passo 5

Letra e:

V 1 = k e q 1 R 1 = k e R 1 Q R 1 R 1 + R 2 → V 1 = k e Q R 1 + R 2

E

V 2 = k e q 2 R 2 = k e R 2 Q R 2 R 1 + R 2 → V 2 = k e Q R 1 + R 2

Passo 6

Letra f:

V 1 - V 2 = 0

Resposta

  1. k e Q 2 2 R
  2. k e q 1 2 2 R 1 + k e Q - q 1 2 2 R 2
  3. R 1 Q R 1 + R 2
  4. R 2 Q R 1 + R 2
  5. V 1 = k e Q R 1 + R 2 e V 2 = k e Q R 1 + R 2
  6. V 1 - V 2 = 0
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