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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 49

Considere duas finas lâminas carregadas, infinitas e paralelas, uma no plano x = 0 e a outra no plano x = a . O potencial é zero na origem. (a) Determine o potencial elétrico em todos os pontos no espaço se os planos têm densidades de carga positivas iguais, + σ . (b) Determine o potencial elétrico em todos os pontos do espaço se a lâmina no plano x = 0 tem densidade de carga + σ e a lâmina no plano x = a tem densidade - σ .

Passo 1

Bom, galera, vamos começar lembrando que o campo elétrico dvido a um plano infinito de cargas é dado por:

E = σ 2 ε 0

Passo 2

  1. Veja a figura abaixo:

  • Para x < 0 , temos que

    • E = - σ 2 ε 0 + σ 2 ε 0 i ^ = - σ ε 0 i ^

    Dessa forma, temos para x < 0 :

    V x - V 0 = - ∫ 0 x - σ ε 0 d x V x - 0 = σ ε 0 x ∴ V x = σ ε 0 x

  • Para 0 < x < a , temos que

    • E = σ 2 ε 0 - σ 2 ε 0 = 0

    De modo que V x = 0 para toda a região 0 < x < a .

  • Para x > a , temos que

    • E = σ 2 ε 0 + σ 2 ε 0 i ^ = σ ε 0 i ^

    Dessa forma, temos para x > 0 :

    V x - V a = - ∫ a x σ ε 0 i ^ V x = - σ ε 0 x - a

    Passo 3

  • Nesse caso, temos
  • Para x < 0 ,

    • E = 0

    De modo que V = 0 em toda essa região.

  • Para 0 < x < a , temos

    • E = σ ε 0 i ^

    Assim, temos que

    V x - V 0 = - ∫ 0 x σ ε 0 d x V x = - σ ε 0 x

  • Para x > a , temos

E = 0

De modo que

V x = 0

Resposta

  1. Para x ≤ 0 , σ ε 0 x ; para 0 ≤ x ≤ a , 0 ; para x ≥ a , - σ ε 0 x - a
  2. Para x ≤ 0 , 0; para 0 ≤ x ≤ a , - σ ε 0 x ; para x ≥ a , 0.
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