Considere a função

f x = 1 10 10 - x 2 ,             0 ≤ x ≤ 10 0 ,                     x < 0       o u       x > 10

a) A partir de

x - = ∫ x   f x   d x ∫ f x   d x

ache o valor médio de x .

b) Suponha que a variável x é discreta em vez de contínua. Suponha que Δ x = 1 , de modo que x toma apenas os valores inteiros x = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   10 . Calcule x - e compare com o resultado obtido no item (a).

c) Calcule x - para Δ x = 5 , isto é, x = 0 ,   5 ,   10 . Compare este resultado com o obtido no item (a).

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Como você deve ter percebido, esse problema não é um problema de física, mas é um exercício bem didático para a gente entender um pouco mais sobre distribuição de probabilidades.

Primeiro vamos calcular o termo do denominador:

∫ f x   d x = 1 10 ∫ 0 10 10 - x 2   d x = 1 10 ∫ 0 10 100 - 20 x + x 2   d x

Assim,

∫ f x   d x = 1 10 100 x - 10 x 2 + x 3 3 0 10 = 1 10 1000 - 1000 + 1000 3

Portanto,

∫ f x   d x = 100 3

Já o numerador:

∫ x   f x   d x = 1 10 ∫ 0 10 x 100 - 20 x + x 2   d x = 1 10 ∫ 0 10 100 x - 20 x 2 + x 3   d x

Logo,

∫ x   f x   d x = 1 10 50 x 2 - 20 3 x 3 + x 4 4 0 10 = 1 10 5000 - 20000 3 + 10000 4

Assim,

∫ x   f x   d x = 250 3

Desta forma, podemos calcular x - :

x - = ∫ x   f x   d x ∫ f x   d x = 250 / 3 100 / 3

Portanto,

x - = 2,5

Passo 2

No item (b), temos que quebrar as integrais em somas:

∫ f x   d x ≈ ∑ f x   Δ x

Vamos considerar Δ x = 1 , de modo que

∫ f x   d x ≈ f 0 Δ x + f 1   Δ x + … + f 10   Δ x

Ou ainda,

∫ f x   d x ≈ f 0 + f 1 + … + f 10 Δ x

Temos que calcular f x para os valores dados:

f 0 = 10 ,           f 1 = 8,1 ,           f 2 = 6,4 ,           f 3 = 4,9 ,               f 4 = 3,6

f 5 = 2,5 ,         f 6 = 1,6 ,           f 7 = 0,9 ,         f 8 = 0,4 ,           f 9 = 0,1 ,         f 10 = 0

Assim,

∫ f x   d x ≈ 10 + 8,1 + 6,4 + 4,9 + 3,6 + 2,5 + 1,6 + 0,9 + 0,4 + 0,1 + 0 ⋅ 1 = 38,5

Da mesma forma,

∫ x   f x   d x ≈ 0 ⋅ f 0 + 1 ⋅ f 1 + … + 10 ⋅ f 10   Δ x

Assim,

∫ x   f x   d x ≈ 0 ⋅ 10 + 1 ⋅ 8,1 + 2 ⋅ 6,4 + … + 10 ⋅ 0 ⋅ 1 = 82,5

Com isso,

x - ≈ 82,5 38,5 ≈ 2,14

É um valor próximo, mas diferente do valor obtido no item (a). Isso ocorre pois estamos aproximando integrais por somas. A aproximação vai ser tanto melhor quanto mais pontos usarmos e quanto menor for Δ x .

Passo 3

No item (c) vamos considerar Δ x = 5 :

∫ f x   d x ≈ f 0 + f 5 + f 10 ⋅ Δ x = 10 + 2,5 + 0 ⋅ 5 = 62,5

Da mesma forma,

∫ x   f x   d x ≈ 0 ⋅ f 0 + 5 ⋅ f 5 + 10 ⋅ f 10 ⋅ 5

∫ x   f x   d x ≈ 0 + 5 ⋅ 2,5 + 0 ⋅ 5 = 62,5

Portanto,

x - ≈ 62,5 62,5 = 1

Aqui o resultado já é bem ruim pois estamos usando poucos pontos e considerando um intervalo grande demais com Δ x = 5 .

Resposta

x - a = 2 , 5

x - b ≈ 2,14

x - c = 1

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