Use a relação R T ν   d ν = c / 4   ρ T ν   d ν , entre a radiância espectral e a densidade de energia, e a lei de radiação de Planck para obter a lei de Stefan. Isto é, demonstre que

R T = ∫ 0 ∞ 2 π h c 2 ⋅ ν 3   d ν e h ν / k B T - 1 = σ T 4

onde σ = 2 π 5 k B 4 / 15 c 2 h 3 .

Sugestão:

∫ 0 ∞ q 3 e q - 1 d q = π 4 15

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício é muito simples: temos que computar a integral e mostrar que

R T = ∫ 0 ∞ 2 π h c 2 ⋅ ν 3   d ν e h ν / k B T - 1 = σ T 4

Todavia, simples não significa fácil...

Calcular essa integral é uma tarefa muito complicada e envolve um refinamento de análise que foge do escopo do livro. Felizmente, o enunciado foi bonzinho e deu pronto uma integral:

∫ 0 ∞ q 3 e q - 1 d q = π 4 15

Nosso objetivo vai ser massagear a integral para depois usar a sugestão!

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável q = h ν / k B T . Assim,

d q = h k B T d ν → d ν = k B T h d q

Além disso,

ν = k B T q h

Substituindo tudo na integral:

R T = ∫ 0 ∞ 2 π h c 2 ⋅ ν 3   d ν e h ν / k B T - 1 = 2 π h c 2 ∫ 0 ∞ k B T q h 3 ⋅ 1 e q ⋅ k B T h d q

Assim,

R T = 2 π h k B 4 T 4 c 2 h 4 ∫ 0 ∞ q 3 e q - 1 d q

Daí, é só usar o resultado fornecido pelo enunciado:

∫ 0 ∞ q 3 e q - 1 d q = π 4 15

Logo,

R T = 2 π h k B 4 T 4 c 2 h 4 ⋅ π 4 15 = 2 π 5 k B 4 15 c 2 h 3 T 4

Portanto, podemos escrever

R T = σ T 4 ,           σ = 2 π 5 k B 4 15 c 2 h 3

Essa é a lei de Stefan!

Resposta

Demonstração.

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