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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 50

Considere poço função delta móvel:

v x , t = - ∝ δ ( x - ʋ t )

em que v é a velocidade (constante) do poço.

(a) Demonstre que a equação de Schrödinger dependente do tempo admite a solução exata

¥ x , t = m ∝ h e - m ∝ x - ʋ t h 2   e - i ɭ E + 1 2 m ʋ 2 t - m v x h ,

em que E =-m ∝ 2 /2h2 é a energia do estado ligado da MO função delta estacionázia. Dica: substitua e verifique! Use o resultado do Problema 2.24(b).

(b) Calcule o valor esperado do Hamiltoniano nesse es- tado e comente o resultado.

Passo 1

O exercício nos pede para que provemos que a equação do poço função delta satisfaz a equação de Schrodinger.

∂ Ψ ∂ t = - m α ħ 2 ∂ ∂ t x   -   v t -   i E   + 1 2 m v 2 ħ   Ψ

Nisso, temos que lembrar que

∂ ∂ t x   -   v t = - v ,       s e   x - v t > 0 v ,   s e   x - v t < 0

Passo 2

Agora, vamos escrever o termo em função de tetha, assim como podemos ver na equação 2.143 do livro. Temos:

2 θ z - 1 = 1 ,   s e   z > 0 - 1 ,   s e   z < 0 ,   l o g o ,   ∂ ∂ t x   -   v t = - v 2 θ x - v t - 1

Substituindo na equação do passo 1, teremos:

i ħ ∂ Ψ ∂ t = i   m α v ħ 2 θ x - v t - 1 +   E   + 1 2 m v 2   Ψ

Passo 3

Agora vamos encontrar a derivada em função de x! Nós teremos:

∂ Ψ ∂ x = - m α ħ 2 ∂ ∂ x x   -   v t +   i m v ħ   Ψ

Calculando ∂ ∂ x x   –   v t :

∂ ∂ x x   -   v t = 1 ,   s e   x > v t ; - 1 ,   s e   x < v t ; = 2 θ x - v t - 1 .

Logo, temos:

∂ Ψ ∂ x = - m α ħ 2 [ 2 θ x - v t - 1 ] +   i m v ħ   Ψ

Para calcular a segunda derivada, teremos:

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = - m α ħ 2 2 θ x - v t - 1 + i m v ħ   2 Ψ - 2 m α ħ 2 ∂ ∂ x θ x - v t Ψ

Pelo problema 2.24, na letra b, nós temos que:

∂ ∂ x θ x - v t = δ x - v t ,   l o g o :

Logo, podemos continuar calculando a derivada:

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = - ħ 2 2 m - m α ħ 2 2 θ x - v t - 1 + i m v ħ   2 + a δ x - v t - a δ x - v t   Ψ

Como 2 θ x - v t - 1 ² = 1 ,   t e m o s :

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = - ħ 2 2 m m 2 α 2 ħ 4 * 1 - m 2 v 2 ħ 2 - 2 i m v ħ m a ħ 2   2 θ x - v t   - 1   Ψ

Assim, encontramos:

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = - m a 2 2 ħ 2 + 1 2 m v 2 + i m v a ħ   2 θ x - v t   - 1 Ψ = i ħ   ∂ Ψ ∂ t

Pronto! Concluímos que

∂ 2 Ψ ∂ x 2 = i ħ   ∂ Ψ ∂ t

Passo 4

Agora, para a letra b, nós temos que:

| Ψ | ² = m α ħ ²   e - 2 m α y ħ ²   ( y   ≡ x - v t ) .

Para checar a normalização, temos:

2 m α ħ 2 ∫ 0 ∞ e - 2 m α y ħ 2   d y = 2 m α ħ 2   ħ 2 2 m a   = 1  

Com isso, concluímos que a normalização funciona. Agora, temos:

< H >   = ∫ - ∞ ∞   Ψ * H   d x =   i ħ   ∂ Ψ ∂ t d y  

Logo, temos (recuperando o calculado no passo 1), que:

< H >   =   ∫ - m a 2 2 ħ 2 + 1 2 m v 2 + i m v a ħ   2 θ x - v t   - 1 Ψ 2 d y = E + 1 2 m v 2 .

Analisando essa resposta, nós entenderemos que o pacote de ondas é arrastado, com velocidade v, com a função delta. Logo, a energia total acumulada é a energia que teríamos em uma função delta estacionária, E, somada à energia cinética que é gerada pelo movimento da massa m com velocidade v. Além disso, é importante que percebamos que [2θ (y) −1] é uma função ímpar de y!

Resposta

a) Como provamos que ∂ 2 Ψ ∂ x 2 = i ħ   ∂ Ψ ∂ t , conseguimos demonstrar o solicitado pelo exercício.

b) < H >   =   ∫ - m a 2 2 ħ 2 + 1 2 m v 2 + i m v a ħ   2 θ x - v t   - 1 Ψ 2 d y = E + 1 2 m v 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro