Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 46
Imagine uma miçanga de massa m que corre sem fricção em torno de um anel circular de circunferência L (É como uma particula livre, exceto que ý( x+ L) = ý (x).) Calcule os estados estacionários (com normalização apropriada) e as energias correspondentes permitidas. Note que há duas soluções independentes para cada energia En que correspondem à circulação nos sentidos horário e anti-horário; chame de ýn +(x) e ýn-(x). Como você leva em consideração essa degenerescência em vista do teorema abordado no Problema 2.45 (por que o teorema falha nesse caso)?
Passo 1
Nós temos uma miçanga de massa m e sabemos que n pode ser positivo ou negativo, ou seja, que a energia pode ser correspondida pelo sentido horário e anti-horário. Assim, temos a equação pela qual x é a medido ao entorno da circunferência da miçanga:
Para transformar essa equação um pouco mais viável, vamos utilizar que , e então
Temos aqui uma EDO linear e, para resolvê-la, sabemos que se deve aplicar as constantes A e B, sabendo que a raiz da resolução acima é ik e –ik. Logo, temos o seguinte:
Passo 2
Agora que encontramos a solução, vamos considerar a circunferência L do anel, que deve ser somada ao entorno x da miçanga. Logo, temos:
e, com isso, chegamos em:
Como pedido no enunciado, agora devemos encontrar e entender essa equação para quando e .
Passo 3
Assim, para :
Para :
(2)
Passo 4
Temos, então, o sistema:
Resolvendo esse sistema, nós encontraremos facilmente que
A partir disso, conseguimos concluir algumas coisas.
Passo 5
Se tivermos A=0, então seria igual a 1. Certo, neste caso, então, kL tenderia a 2nπ, com (n = 0, ± 1, ± 2, ...). Além disso, quando A=0, , o que nos leva a concluir exatamente o mesmo.
Assim, para cada n positivo, nós temos as 2 seguintes soluções:
e
.
Além disso, para n=0, concluímos que haverá apenas uma solução ().
Passo 6
Assim, encontrando a equação de onda, nós teremos a seguinte normalização:
Qualquer outra solução para essa equação gerará uma combinação linear. Assim, temos que:
Por isso, respondendo o que se pede, temos que o teorema falha neste caso, porque ψ não vai para zero em ∞ e x é restrito a um intervalo finito, sendo assim, não somos capazes de determinar a constante K (no Problema 2.45).
Resposta
O teorema falha neste caso, porque ψ não vai para zero em ∞ e x é restrito a um intervalo finito, sendo assim, não somos capazes de determinar a constante K.