Considere os seguintes números: 2 ,   3 ,   3 ,   4 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1 ,   0 representando o número de gols feitos em cada partida pelo Fluminense no último campeonato.

a) Calcular diretamente o número médio de gols por partida.

b) Seja x uma variável significando o número de gols por partida, e seja f x o número de vezes que o número x aparece. Mostre que o número médio de gols por partida pode ser escrito como

x - = ∑ 0 4 x   f x ∑ 0 4 f x

c) Seja p x a probabilidade de se obter o número x . Mostre que x - é dado por

x - = ∑ 0 4 x   p x

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Como você deve ter percebido, esse problema não é um problema de física, mas é um exercício bem didático para a gente entender um pouco mais sobre distribuição de probabilidades.

Temos os gols marcados pelo Fluminense nas partidas de um campeonato:

2 ,   3 ,   3 ,   4 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1 ,   0

O item (a) é bem simples, basta fazer a média aritmética:

x - = 2 + 3 + 3 + 4 + 1 + 2 + 2 + 1 + 0 9 = 18 9

Logo,

x - = 2

Passo 2

No item (b), fazemos a mesma conta só que agora usando a ideia de média ponderada. O número 1 ocorre duas vezes, de modo que f 1 = 2 . O número 0 ocorre uma vez: f 0 = 1 . Seguindo essa lógica: f 2 = 3 , f 3 = 2 e f 4 = 1 .

Como era de se esperar:

∑ 0 4 f x = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9

Da mesma forma,

∑ 0 4 x   f x = 0 ⋅ f 0 + 1 ⋅ f 1 + 2 ⋅ f 2 + 3 ⋅ f 3 + 4 ⋅ f 4

∑ 0 4 x   f x = 0 + 2 + 6 + 6 + 4 = 18

Com isso,

x - = ∑ 0 4 x   f x ∑ 0 4 f x = 18 9 = 2

Consistente com o que achamos no item (a)!

Passo 3

Podemos definir a probabilidade p x de ocorrerem x gols em uma partida como sendo a frequência

p x = f x ∑ f x

Com isso,

x - = ∑ x   f x ∑ f x = ∑ x   f x ∑ f x = ∑ x   p x

Esse resultado é muito poderoso: se você conhecer a distribuição de probabilidades p x de uma variável x , você pode usá-la para encontrar x - !

Resposta

x - = 2

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