Usando as relações P E = e - E / k B T / k B T e ∫ 0 ∞ P E   d E = 1 , faça o cálculo da integral de (1-21) e obtenha (1-22), E - = k B T .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Temos que calcular o valor médio da energia conhecendo sua distribuição de probabilidades:

E - = ∫ E   P E   d E ∫ P E   d E

Como ∫ 0 ∞ P E   d E = 1 , segue que

E - = ∫ 0 ∞ E   P E   d E = 1 k B T ∫ 0 ∞ E   e - E k B T   d E

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável x = E / k B T :

d x = d E k B T → d E = k B T   d x

Assim,

E - = 1 k B T ∫ 0 ∞ x   k B T   e - x   k B T   d x = k B T   ∫ 0 ∞ x   e - x   d x

Para fazer essa integral usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Logo, chamando u = x e d v = e - x   d x , temos d u = d x e v = - e - x :

∫ 0 ∞ x   e - x   d x = - x e - x 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e - x   d x

O termo entre parênteses se anula tanto em x = 0 como em x = ∞ pois

lim x → ∞ ⁡ x   e - x = 0

Assim,

∫ 0 ∞ x   e - x   d x = ∫ 0 ∞ e - x   d x = - e - x 0 ∞ = - 0 + 1 = 1

Com isso, obtemos

E - = k B T ⋅ 1

Ou ainda,

E - = k B T

Era isso que o exercício pedia para provarmos!

Resposta

Demonstração.

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