Enunciado

Uma única força conservativa F ( x ) age sobre uma partícula de 1,0   k g que se move ao longo de um eixo x . A energia potencial U ( x ) associada a F ( x ) é dada por

U x = - 4 x e - x 4   J

onde x está em metros. Em x   =   5,0   m , a partícula possui uma energia cinética de 2,0   J . (a) Qual é a energia mecânica do sistema? (b) Faça um gráfico de U ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 10   m   e plote, no mesmo gráfico, a reta que representa a energia mecânica do sistema. Use o gráfico do item (b) para determinar (c) o menor valor de x que a partícula pode atingir e (d) o maior valor de x que a partícula pode atingir. Use o gráfico do item (b) para determinar (e) a energia cinética máxima da partícula e (f) o valor de x para o qual a energia cinética atinge este valor. (g) Escreva uma expressão para F ( x ) , em newtons, em função de x , em metros. (h) F ( x )   =   0 para que valor (finito) de x ?

Passo 1

a) U x = - 4 x e - x 4   J e em x = 5   m

U 5 = - 4.5 e - 5 4

U 5 = - 5,73   J

E K = 2,0   J , logo

E m e c = K + U

E m e c = 2 - 5,73 = - 3,73   J

Passo 2

b) O gráfico é mostrado na figura abaixo

Passo 3

c) Os pontos procurados são onde a energia mecânica é igual a energia potencial. Logo, pelas interseções no gráfico, pode-se encontrar esses valores. Para o menor valor

x ≈ 1,3   m

Passo 4

d) Para o maior valor

x ≈ 9,1   m

Passo 5

e) O menor valor de U será quando a energia cinética é máxima em x = 4   m , U é mínimo e vale

U = - 4.4 e - 4 4

U ≈ - 5,9   J

A energia cinética será

K = E m e c - U = - 3,7 - - 5,9

K = 2,2   J

Passo 6

f) Como visto no item e) x = 4   m

Passo 7

g) F será dado por

F = - d U d x = - ( - 4 e - x 4 + x e - x 4 )

F = 4 - x e - x 4

Passo 8

h) Para F = 0

4 - x = 0

x = 4   m

Resposta

a) E m e c = - 3,73   J

b)

c)   x ≈ 1,3   m

d) x ≈ 9,1   m

e)   K = 2,2   J

f)     x = 4   m

g)   F = x - 4 e - x 4

h) x = 4   m

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