Enunciado

Um corpo com 45   k g de massa é lançado verticalmente com velocidade inicial de 60   m / s . A resistência do ar ao movimento do corpo é dada por F = - 3 v / 100 , onde F é dado em newtons e v é a velocidade do corpo em m / s . Calcule o tempo decorrido desde o lançamento até a altitude máxima. Qual a altitude máxima?

Passo 1

E aí, beleza?? Para resolver esse problema, vamos escrever a força de resistência como F = - k v . Assim, da segunda lei de newton, vem:

m v ˙ = - m g - k v = - k v + m g k

Para resolver essa EDO, utilizemos a substituição de variável: u = v + m g / k . Assim, temos:

u ˙ = v ˙

Portanto:

u ˙ = - k m u ∴ u t = A   e - k t m

Ou seja:

v t = A e - k t m - m g k  

Que substituindo a condição de contorno, vem:

v 0 = v 0 ∴ A = v 0 + m g k

Assim:

v t = v 0 + m g k e - k t m - m g k

Passo 2

Integrando para determinar a posição:

y t = ∫ 0 t v t d t = ∫ 0 t v 0 + m g k e - k t m - m g k   d t

Portanto:

y t = - m k v 0 + m g k e - k t m 0 t - m g t k

y t = m k v 0 + m g k 1 - e - k t m - m g t k

Passo 3

Portanto, o instante de parada é:

v τ = 0 ∴ e - k τ m = m g k v 0 + m g k

k τ m = ln ⁡ 1 + k v 0 m g ∴ τ = m k ln ⁡ 1 + k v 0 m g

Numericamente, vem:

τ = 6,1 s

Substituindo esse tempo em y ( t ) , vem:

H ≈ 180 m

Resposta

τ = 6,1 s

H ≈ 180 m

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