Enunciado

Um corpo, partindo do repouso, cai de uma altura de 108   m em 5   s . Calcule a velocidade limite se a resistência é proporcional à velocidade.

Passo 1

E aí, beleza?? Sendo F = - k v , temos:

m v ˙ = m g - k v

v ˙ = - k m v - m g k

Utilizando o mesmo artifício da questão anterior, temos:

v t = m g k + A e - k t m

Da condição de contorno v 0 = 0 , vem:

v t = m g k 1 - e - k t m

Integrando para y ( t ) (sendo y a altura que o corpo caiu):

y t = m g k t - m k 1 - e - k t m  

Passo 2

Seja k / m = ξ , pode-se notar que esse fator é pequeno, pois a altura que o corpo cairia em 5 s de queda livre é bem próxima dos 108 m que o corpo caiu ( 122 m ). Assim, se expandirmos a exponencial em séries de potências, podemos chegar em:

e - α t ≈ 1 - α t + 1 2 α t 2 - 1 6 α t 3

Portanto:

y = g α t - 1 α 1 - 1 + α t - 1 2 α t 2 + 1 6 α t 3

y = g t 2 2 - 1 6 α g t 3

Portanto, podemos determinar o coeficiente α :

108 = 122 - 1 6 9,81   α   5 3

α = 0,07

Passo 3

Portanto, a velocidade limite, dada por v l = m g k = g / α , é:

v l ≈ 138   m / s

Resposta

v l ≈ 138   m / s

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