Enunciado

Uma massa M , ligada a uma extremidade de uma corrente muito longa com massa m por unidade de comprimento, é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v 0 . Mostre que a altura máxima atingida por M é h = M / m [ 1 + 3 m v 0 2 / 2 M g 3 - 1 ] , e que a velocidade da massa M quando essa volta ao solo é v = 2 g h .

Passo 1

E aí, beleza?? Nesse problema, o peso da massa que está em voo será o responsável por variar a quantidade de movimento do sistema. Assim, temos:

d P d t = - M + m x g

Multiplicando por P = M + m x v , tem:

P   d P = - M + m x 2 g v d t ⏝ d x

Logo:

∫ P 0 0 P d P = - ∫ 0 h M + m x 2 g   d x

Passo 2

Resolvendo a integral, chegamos em:

P 0 2 2 = g 3 m M + m x 3 ​ 0 h

Ou seja:

3 m M 2 v 0 2 2 g = M + m h 3 - M 3

Resolvendo para h :

1 + m h M 3 = 1 + 3 m v 0 2 2 M g

Portanto:

h = M m 1 + 3 m v 0 2 2 M g 3 - 1

Como queríamos demonstrar!

Passo 3

Quando a massa M volta a cair, a única força que age sobre ela é o próprio peso, de modo que vale:

v 2 = v 0 2 + 2 g h ∴ v = 2 g h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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