Enunciado

Um curral retangular de dimensões L x =   L   e   L y =   2 L contém sete elétrons. Qual é a energia do estado fundamental do sistema, em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 ? Suponha que os elétrons não interagem e não se esqueça de levar em conta o spin.

Passo 1

A energia do curral bidimensional em termos de L x ,   L y ,   n x e   n y é:

E n x , n y = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

E temos L x = L e L y = 2 L , então:

E n x , n y = h 2 8 m L 2 n x 2 1 + n y 2 4

E em cada subcamada podemos alocar dois elétrons, pois cada um pode ter spin ± 1 / 2 . Sendo assim o primeiro valor de energia vai ser E 1,1 :

E 1,1 = h 2 8 m L 2 1 2 1 + 1 2 4 = 5 4 h 2 8 m L 2 = 1,25 h 2 8 m L 2

Então aqui nesse nível ficam alocados dois dos sete elétrons, precisamos de mais níveis.

Passo 2

O próximo nível de energia é com E 1,2 :

E n x , n y = h 2 8 m L 2 n x 2 1 + n y 2 4 = h 2 8 m L 2 1 2 1 + 2 2 4

E 1,2 = 1 + 1 h 2 8 m L 2 = 2 h 2 8 m L 2

Aqui novamente alocamos mais dois elétrons, por causa do spin. Bom, ainda faltam três elétrons. Vamos para mais um nível. O próximo será fazendo E 1,3 :

E 1 , 3 = h 2 8 m L 2 1 2 1 + 3 2 4 = 1 + 9 4 h 2 8 m L 2

E 1 , 3 = 3 , 25 h 2 8 m L 2

E aqui temos mais dois elétrons alocados. Falta apenas um! E ele vai estar sozinho no nível de energia seguinte.

O próximo nível é quando os números quânticos n x e n y são iguais a dois e um respectivamente:

E 2 , 1 = h 2 8 m L 2 2 2 1 + 1 2 4 = 4 + 1 4 h 2 8 m L 2 = 4,25 h 2 8 m L 2

Pronto! Aqui alocamos o último elétron! E não importa qual seu spin (se é up ou down), a energia dele não depende do spin, apenas de n .

Passo 3

A energia total doe stado fundamental vai ser a soma das energias individuais de cada elétron em cada nível. Como temos dois elétrons nos três primeiros níveis, a energia de cada um vai ser multiplicada por dois:

E t o t a l = 2 E 1,1 + 2 E 1,2 + 2 E 1,3 + E 2,1

E t o t a l = 2 1,25 h 2 8 m L 2 + 2 h 2 8 m L 2 + 3 , 25 h 2 8 m L 2   + 4,25 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 2 . 1,25 + 2 + 3 , 25 h 2 8 m L 2 + 4,25 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 17,25 h 2 8 m L 2

Resposta

17,25 h 2 8 m L 2

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