Enunciado

A Fig. 40-23 mostra o diagrama de níveis de energia de um elétron em um átomo fictício simulado por um poço de potencial unidimensional infinito de largura L. O número de estados degenerados em cada nível está indicado na figura: "não" significa não degenerado (o que também se aplica ao estado fundamental ) , "duplo" significa 2 estados e "triplo" significa 3 estados. Suponha que o poço de potencial contenha 11 elétrons. Desprezando a interação eletrostática dos elétrons, que múltiplo de h 2 8 m L 2 corresponde à energia do primeiro estado excitado do sistema de 11 elétrons?

Passo 1

Faala ae, beleza??

Em cada subcamada podemos alocar dois elétrons, pois cada um pode ter spin ± 1 / 2 . Assim, segundo diagrama de energia da figura, dois elétrons podem ocupar o estado fundamental, com energia:

E 1 = h 2 8 m L 2 4 = 4 h 2 8 m L 2

Então aqui nesse nível ficam alocados dois dos onze elétrons, precisamos de mais níveis.

Passo 2

O próximo nível de energia é com E 2 :

E 2 = h 2 8 m L 2 6 = 6 h 2 8 m L 2

Seis elétrons podem ocupar o estado triplo com essa energia E 2 .

Até agora, então, temos 8 elétrons: dois no estado fundamental e 6 no estado triplo. Bom, ainda faltam 3 elétrons. Vamos para mais um nível. O próximo será fazendo E 3 :

E 3 = h 2 8 m L 2 ( 7 ) = 7 h 2 8 m L 2

E aqui temos mais três elétrons alocados, completando os 11 elétrons que queríamos!!

Passo 3

A energia total do estado fundamental vai ser a soma das energias individuais de cada elétron em cada nível. Como temos dois elétrons no primeiro, três elétrons no segundo, dois no terceiro, três no quarto e um no quinto multiplicada por dois, três, dois, três e um respectivamente:

E t o t a l = 2 E 1 + 6 E 2 + 3 E 3

E t o t a l = 2 . 4 h 2 8 m L 2 + 6 6 h 2 8 m L 2 + 3 7 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 2.4 + 6.6 + 3.7 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 65 h 2 8 m L 2

Passo 4

O primeiro estado excitado é formado por dois elétrons com E 1 = 4 h 2 9 m L 2 , cinco elétrons com E 2 = 6 h 2 8 m L 2 e quatro elétrons com E 3 = 7 h 2 8 m L 2 . Portanto, sua energia será:

E t o t a l = 2 E 1 + 5 E 2 + 4 E 3

E t o t a l = 2 . 4 h 2 8 m L 2 + 5 6 h 2 8 m L 2 + 4 7 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 2.4 + 5.6 + 4.7 h 2 8 m L 2

E t o t a l = 66 h 2 8 m L 2

Com isso, chegamos que a energia do primeiro estado excitado, em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , é 66.

Resposta

66 h 2 8 m L 2

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