Dada a reta que passa por paralela a e o plano que passa por perpendicular a , (a) escreva as equações respectivas em coordenadas cartesianas ortogonais; (b) determine o ponto ele intersecção da linha com o plano; (c) determine o ângulo entre a linha e o plano.
Passo 1
E aí, beleza?? Vamos começar escrevendo a equação da reta:
Portanto:
A equação da reta também pode ser escrita como:
Passo 2
Para escrever a equação do plano, precisamos determinar dois vetores e linearmente independentes e perpendiculares a . Podemos verificar que o vetor é perpendicular a . Assim, pode ser determinado com:
Assim, a equação do plano é:
Portanto:
Relacionando com as coordenadas cartesianas, temos:
Assim, podemos chegar em:
Por fim:
Ou, ainda:
Passo 3
Vamos resolver agora para o ponto de intersecção do plano com a reta. Da equação da reta, temos:
Substituindo na equação do plano:
Assim:
Ou seja, o ponto de intersecção é:
Passo 4
O ângulo que a reta faz com a reta normal ao plano (paralela a ) é:
Assim do produto escalar, temos:
Ou seja, a reta faz com a normal do plano um ângulo . Agora, o ângulo que ela faz com a superfície do plano é o complementar de , portanto:
Resposta
(a)
(b)
(c)