Dada a reta que passa por P = ( 4 ,   5 ,   - 7 ) paralela a V 1 = u x - 1 + u y ( 2 )   + u z ( - 4 ) e o plano que passa por   Q = ( - 3 ,   6 ,     12 ) perpendicular a V 2 = u x + u y ( - 2 )   + u z ( 2 ) , (a) escreva as equações respectivas em coordenadas cartesianas ortogonais; (b) determine o ponto ele intersecção da linha com o plano; (c) determine o ângulo entre a linha e o plano.

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos começar escrevendo a equação da reta:

r 1 = P + s   V 1 →

Portanto:

r 1 = 4 - s ,   5 + 2 s ,   - 7 - 4 s

A equação da reta também pode ser escrita como:

4 - x = y - 5 2 = - z - 7 4

Passo 2

Para escrever a equação do plano, precisamos determinar dois vetores U → e W → linearmente independentes e perpendiculares a V 2 . Podemos verificar que o vetor U → = 2,1 , 0 é perpendicular a V 2 → . Assim, W → pode ser determinado com:

W → = V 2 → × U → ∴ W → = - 2,4 , 5

Assim, a equação do plano é:

π = Q + v U → + t W →

Portanto:

π = - 3 + 2 v - 2 t   ,   6 + v + 4 t ,   12 + 5 t

Relacionando com as coordenadas cartesianas, temos:

x = - 3 + 2 v - t ∴ v - t = x + 3 2

y = 6 + v + 4 t ∴ v + 4 t = y - 6

z = 12 + 5 t ∴   t = z - 12 5

Assim, podemos chegar em:

v = z - 12 5 + x + 3 2

Por fim:

z - 12 + ( x + 3 ) 2 = ( y - 6 )

Ou, ainda:

x - 2 y + 2 z - 9 = 0

Passo 3

Vamos resolver agora para o ponto de intersecção do plano com a reta. Da equação da reta, temos:

y = 13 - 2 x           ;             z = 4 x - 23

Substituindo na equação do plano:

x - 26 + 4 x + 8 x - 46 - 9 = 0 ∴ x = 81 13

Assim:

y = 7 13         ;           z = 25 13

Ou seja, o ponto de intersecção é:

81 13 , 7 13 , 25 13

Passo 4

O ângulo que a reta r 1 faz com a reta normal ao plano (paralela a V 2 → ) é:

V 1 → ∙ V 2 → = V 1 V 2 cos ⁡ ( θ )

Assim do produto escalar, temos:

V 1 → ∙ V 2 → = - 13 = 3 21 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 0,94 ∴ θ ≈ 161 °

Ou seja, a reta faz com a normal do plano um ângulo 180 - 161 = 19 ° . Agora, o ângulo que ela faz com a superfície do plano é o complementar de 19 ° , portanto:

α = 71 °

Resposta

(a)

4 - x = y - 5 2 = - z - 7 4

x - 2 y + 2 z - 9 = 0

(b)

81 13 , 7 13 , 25 13

(c)

α = 71 °

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