Prove que, se dois vetores têm o mesmo módulo V e fazem entre si um ângulo θ , o módulo da soma é S = 2 V   c o s ⁡ ( θ / 2 ) , e da diferença é D = 2 V   s e n ( θ / 2 ) .

Passo 1

E aí, beleza?? Considere a seguinte figura ilustrativa do problema a seguir:

Esses dois vetores possuem mesmo módulo. Assim, vamos calcular, de uma vez só, como ficam os vetores soma e diferença, utilizando o vetor auxiliar A → :

A → = V 1 → ± V 2 →

Assim, temos:

S → = A → +       ;         D → = A → -

Passo 2

Portanto, calculando o módulo de A → , temos:

A 2 = V 2 + V 2 ± 2 V 1 → ∙ V 2 → = 2 V 2 ± 2 V 2 cos ⁡ θ

Ou seja:

A = V 2 1 ± cos ⁡ ( θ )

Assim, temos:

S = V 2 1 + cos ⁡ θ = V 2 ∙ 2 cos 2 ⁡ θ 2 ∴ S = 2 V cos ⁡ θ 2

D = V 2 1 - cos ⁡ θ = V 2 ∙ 2 sen 2 ⁡ θ 2 ∴ D = 2 V sen ⁡ θ 2

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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