Prove que a distância entre a linha que passa por P 1 e paralela a V 1 e a linha que passa por P 2 e paralela a V 2 é   P 1 P 2 - ∙ V 1 × V 2 / | V 1 × V 2 |   . [Nota: a distância entre linhas retas reversas (isto é, retas que não estã o no mesmo plano) é definida como sendo igual ao comprimento cio menor segmento de reta, perpendicular a ambas.] Escreva o resultado anterior na forma expandida, usando as coordenadas de P 1 e P 2 , e as componentes de V 1 ,e V 2 . Aplique ao caso particular em que P 1 = ( 4 ,   5 ,   - 7 ) , P 2 = ( - 3 ,     6,12 ) , V 1 = u x + u y + u z e V 2 = u x ( - 2 ) + u y ( 1 ) + u z ( 3 ) .

Passo 1

E aí, beleza?? Para resolver essa questão, utilizaremos um método parecido com o da questão anterior, quando calculamos a distância do ponto ao plano. Nesse caso, a distância d → é, necessariamente, perpendicular a ambas as retas, ou seja, é simultaneamente perpendicular aos vetores V 1 → e V 2 → . Como estamos trabalhando no R 3 , podemos afirmar:

d → = λ   V 1 → × V 2 →

Pois o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos. Nessa relação, λ é um número real a ser determinado.

Passo 2

Sejam A e B pontos das retas 1 e 2 , respectivamente, temos:

A = P 1 + s V 1 →

B = P 2 + t V 2 →

Assim, a distância d → é:

d → = A - B = P 1 P 2 - + s V 1 → - t V 2 → = λ   V 1 → × V 2 →

Para determinar o valor de λ , tomemos o produto escalar da equação acima por V 1 → × V 2 → :

P 1 P 2 - ∙ V 1 → × V 2 → + s V 1 → ∙ V 1 → × V 2 → - t V 2 → ∙ V 1 → × V 2 → = λ   V 1 → × V 2 → 2

Devido ao fato dos vetores V 1 → e V 2 → serem perpendiculares ao vetor V 1 → × V 2 → , os produtos escalares destes se anulam. Assim, ficamos com:

λ = P 1 P 2 - ∙ V 1 → × V 2 → V 1 → × V 2 → 2

Passo 3

Dessa maneira, o vetor distância é:

d → = P 1 P 2 - ∙ V 1 → × V 2 → V 1 → × V 2 → 2 V 1 → × V 2 →

De modo que, ao tirarmos o módulo, chegamos em:

d = P 1 P 2 - ∙ V 1 → × V 2 → V 1 → × V 2 →

Como queríamos demonstrar.

Passo 4

Aplicando a equação acima ao caso particular do enunciado, chegamos em:

d = 38 = 6,2

Resposta

d = 38 = 6,2

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