Prove que a distância entre a linha que passa por e paralela a e a linha que passa por e paralela a é . [Nota: a distância entre linhas retas reversas (isto é, retas que não estã o no mesmo plano) é definida como sendo igual ao comprimento cio menor segmento de reta, perpendicular a ambas.] Escreva o resultado anterior na forma expandida, usando as coordenadas de e , e as componentes de ,e . Aplique ao caso particular em que , , e .
Passo 1
E aí, beleza?? Para resolver essa questão, utilizaremos um método parecido com o da questão anterior, quando calculamos a distância do ponto ao plano. Nesse caso, a distância é, necessariamente, perpendicular a ambas as retas, ou seja, é simultaneamente perpendicular aos vetores e . Como estamos trabalhando no , podemos afirmar:
Pois o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos. Nessa relação, é um número real a ser determinado.
Passo 2
Sejam e pontos das retas e , respectivamente, temos:
Assim, a distância é:
Para determinar o valor de , tomemos o produto escalar da equação acima por :
Devido ao fato dos vetores e serem perpendiculares ao vetor , os produtos escalares destes se anulam. Assim, ficamos com:
Passo 3
Dessa maneira, o vetor distância é:
De modo que, ao tirarmos o módulo, chegamos em:
Como queríamos demonstrar.
Passo 4
Aplicando a equação acima ao caso particular do enunciado, chegamos em: