Dados os três vetores não coplanares a 1 , a 2 e a 3 , os vetores

a 1 = a 2 × a 3 a 1 ∙ a 2 × a 3   ,       a 2 = a 3 × a 1 a 2 ∙ a 3 × a 1   ,       a 3 = a 1 × a 2 a 3 ∙ a 1 × a 2  

São chamados vetores recíprocos. Prove que a i ∙ a i = 1 e a i ∙ a j = 0 onde i e j assumem os valores 1 ,   2 e 3 . Discuta a disposição geométrica dos vetores recíprocos a 1 , a 2 , a 3 em relação a a 1 , a 2 , a 3 .

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos começar com a seguinte verificação:

a 1 → ∙ a 1 → = a 1 →   ∙   a 2 → × a 3 → a 1 → ∙ a 2 → × a 3 → = a 1 → ∙ a 2 → × a 3 → a 1 → ∙ a 2 → × a 3 → = 1

Ou seja:

a 1 → ∙ a 1 → = 1

O mesmo ocorre para os outros vetores de maneira completamente análoga.

Passo 2

O vetor a 1 → é perpendicular ao plano gerado pelos vetores a 2 → e a 3 → , possuindo uma inclinação θ em relação ao vetor a 1 → tal que:

cos ⁡ θ = 1 a 1 a 1 ∴ 0 ° ≤ θ < 90 °

O mesmo ocorre para os vetores recíprocos análogos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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