Enunciado

Dados os vetores

A = u x 3 + u y 4 + u z ( - 5 )

E

B = u x - 1 + u y 1 + u z ( 2 )

calcular: (a) o módulo e a direção do vetor resultante; (b) o módulo e a direção da diferença A   - B ; (e) o ângulo entre A e B .

Passo 1

E aí, beleza?? Para calcular o módulo e a direção do vetor resultante, basta que somemos em cada eixo:

S → = u x 2 + u y 5 + u z ( - 3 )

Para o módulo da soma:

S = 2 2 + 5 2 + - 3 2 = 38

Ou seja:

S = 6,2

O vetor unitário λ → na direção de S → é:

λ → = S → S ∴ λ → = u x 0,32 + u y 0,81 + u z ( - 0,48 )

Passo 2

Fazendo o mesmo para a diferença, temos:

D → = u x 4 + u y 3 + u z - 7

O módulo fica:

D = 4 2 + 3 2 + 7 2 = 74

Ou seja:

D = 8,6

O vetor unitário λ → ' na direção de D → é:

λ ' → = D → D ∴ λ ' → = u x 0 , 47 + u y 0 , 35 + u z ( - 0 , 81 )

Passo 3

Para o ângulo entre A → e   B → , tomamos o produto escalar:

A → ∙ B → = 3 ∙ - 1 + 4 ∙ 1 + - 5 ∙ 2 = A B cos ⁡ θ

Os módulos de A → e   B → são:

A = 3 2 + 4 2 + 5 2 = 7,1

B = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 2,5

Portanto:

7,1 ∙ 2,5 ∙ cos ⁡ θ = - 3 + 4 - 10

Assim:

cos ⁡ θ ≈ - 1 2 ∴ θ ≈ 120 °

Resposta

(a)

S = 6,2

λ → = u x 0,32 + u y 0,81 + u z ( - 0,48 )

(b)

D = 8,6

λ ' → = u x 0,47 + u y 0,35 + u z ( - 0,81 )

(c)

θ ≈ 120 °

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