Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com E = 0 ou E < 0 . (Esse é um caso especial do teorema geral no problema 2.2 , mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)

Passo 1

E aí, tudo bom?? Vamos resolver essa equação como sugere o enunciado: primeiramente vamos resolver a equação de Schrödinger para o poço quadrado infinito e ver então o que acontece se a energia for menor ou igual a zero...

Passo 2

Para resolver a equação, devemos lembrar que para o poço quadrado infinito o potencial é nulo no interior do poço e infinito no seu exterior! Assim, a partícula está confinada ao poço.

Dessa maneira, podemos assumir que V x = 0 para todas as possíveis posições da partícula. Com isso, a equação fica:

- ℏ 2 2 m   d 2 ψ d x 2 = E ψ

Ou ainda...

ψ ' ' x = - 2 m E ℏ 2   ψ

Essa equação já é bem conhecida nossa, então vamos analisar as suas soluções para os dois casos de interesse.

Passo 3

Primeiro vamos analisar o caso em que E = 0 . Dessa maneira, temos que:

ψ ' ' x = 0

Ou seja, a solução é uma reta, do tipo:

ψ x = γ   x + β

Assumindo que o poço consiste no intervalo 0 , a , temos:

ψ 0 = 0 → β = 0

Ou seja, a solução deve ser do tipo:

ψ x = γ   x

Como em x = a a função de onda também deve se anular, vem que:

ψ a = γ   a = 0 → γ = 0

Ou seja, a função de onda deve ser nula em todos os pontos, o que é um absurdo!

Passo 4

Analisando agora o caso E < 0 , temos:

ψ ' ' = 2 m E ℏ ψ

Definindo 2 m E / ℏ 2 = k 2 , então vem:

ψ ' ' = k 2 ψ

Sabemos que as soluções dessa equação são do tipo exponenciais, portanto:

ψ x = A e k x + B e - k x

Utilizando as condições de contorno, vem:

ψ 0 = A + B = 0 → B = - A

Ou seja:

ψ x = A ( e k x - e - k x )

Agora, para x = a :

ψ a = A e k a - e - k a = 0 → A = 0

Ou seja, nos deparamos novamente com o fato de que a função de onda deveria se anular, o que é um absurdo!

Dessa maneira, conseguimos concluir que a energia deve ser sempre positiva, isto é, E > 0 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro