Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com ou . (Esse é um caso especial do teorema geral no problema , mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)
Passo 1
E aí, tudo bom?? Vamos resolver essa equação como sugere o enunciado: primeiramente vamos resolver a equação de Schrödinger para o poço quadrado infinito e ver então o que acontece se a energia for menor ou igual a zero...
Passo 2
Para resolver a equação, devemos lembrar que para o poço quadrado infinito o potencial é nulo no interior do poço e infinito no seu exterior! Assim, a partícula está confinada ao poço.
Dessa maneira, podemos assumir que para todas as possíveis posições da partícula. Com isso, a equação fica:
Ou ainda...
Essa equação já é bem conhecida nossa, então vamos analisar as suas soluções para os dois casos de interesse.
Passo 3
Primeiro vamos analisar o caso em que . Dessa maneira, temos que:
Ou seja, a solução é uma reta, do tipo:
Assumindo que o poço consiste no intervalo , temos:
Ou seja, a solução deve ser do tipo:
Como em a função de onda também deve se anular, vem que:
Ou seja, a função de onda deve ser nula em todos os pontos, o que é um absurdo!
Passo 4
Analisando agora o caso , temos:
Definindo , então vem:
Sabemos que as soluções dessa equação são do tipo exponenciais, portanto:
Utilizando as condições de contorno, vem:
Ou seja:
Agora, para :
Ou seja, nos deparamos novamente com o fato de que a função de onda deveria se anular, o que é um absurdo!
Dessa maneira, conseguimos concluir que a energia deve ser sempre positiva, isto é, !
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)