Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 15
No estado fundamental do oscilador harmônico, qual é a probabilidade (correta para três algarismos significativos) de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida?
Dica: Classicamente, a energia de um oscilador é , enquanto é a amplitude. Assim, a ‘região permitida classicamente’ para um oscilador de energia estende-se de para . Procure o valor numérico da integral em uma tabela matemática, em ‘Distribuição normal’ ou ‘Função erro’.
Passo 1
Fala aí, beleza? Para resolver essa questão, vamos calcular a densidade de probabilidade da partícula e então, integrá-la para descobrir a probabilidade de ela estar fora da região classicamente aceita!
Dada a função de onda (reescrita em termos de , como já foi feito em questões anteriores), vem que:
Assim, a densidade de probabilidade é:
Passo 2
Assim, vamos integrar a densidade para encontrar a probabilidade desejada. Em vez de calcularmos duas integrais (de até e de até ), como a função densidade de probabilidade é par, podemos calcular apenas uma das integrais e multiplicar por . Assim, vem (sendo ):
Perceba que, como , então corresponde a :
Com isso, vem:
Passo 3
Essa integral não pode ser resolvida analiticamente em termos de funções básicas. Entretanto, seu valor é tabelado. Dessa forma, conferindo a tabela ou consultando uma calculadora, podemos chegar no resultado:
Ou seja, apesar de ser bem mais provável encontrar uma partícula no estado fundamental dentro da região classicamente permitida, é possível encontra-la fora dessa região!