Enunciado

No estado fundamental do oscilador harmônico, qual é a probabilidade (correta para três algarismos significativos) de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida?

Dica: Classicamente, a energia de um oscilador é E = 1 2 k a 2 = 1 2 m ω 2 a 2 , enquanto a é a amplitude. Assim, a ‘região permitida classicamente’ para um oscilador de energia E estende-se de - 2 E / m ω 2 para + 2 E / m ω 2 . Procure o valor numérico da integral em uma tabela matemática, em ‘Distribuição normal’ ou ‘Função erro’.

Passo 1

Fala aí, beleza? Para resolver essa questão, vamos calcular a densidade de probabilidade da partícula e então, integrá-la para descobrir a probabilidade de ela estar fora da região classicamente aceita!

Dada a função de onda (reescrita em termos de ξ , como já foi feito em questões anteriores), vem que:

ψ ξ = m ω π ℏ 1 4   e - ξ 2 2

Assim, a densidade de probabilidade é:

ψ ξ 2 = m ω π ℏ     e - ξ 2

Passo 2

Assim, vamos integrar a densidade para encontrar a probabilidade desejada. Em vez de calcularmos duas integrais (de - ∞ até - 2 E / m ω 2 e de 2 E / m ω 2 até ), como a função densidade de probabilidade é par, podemos calcular apenas uma das integrais e multiplicar por 2 . Assim, vem (sendo x 0 = 2 E / m ω 2 ):

P = 2   m ω π ℏ ∫ x 0 ∞ e - ξ 2 d x = 2   m ω π ℏ     ℏ m ω   ∫ ξ 0 ∞ e - ξ 2 d ξ

Perceba que, como ξ = m ω / ℏ     x , então x = x 0 corresponde a ξ 0 = 1 :

E = E 0 = 1 2 ℏ ω → x 0 = ℏ m ω →   ξ 0 = 1

Com isso, vem:

P = 2 π ∫ 1 ∞ e - ξ 2 d ξ

Passo 3

Essa integral não pode ser resolvida analiticamente em termos de funções básicas. Entretanto, seu valor é tabelado. Dessa forma, conferindo a tabela ou consultando uma calculadora, podemos chegar no resultado:

P = 0,157 = 15,7 %

Ou seja, apesar de ser bem mais provável encontrar uma partícula no estado fundamental dentro da região classicamente permitida, é possível encontra-la fora dessa região!

Resposta

P = 15,7 %

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