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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 5 c

Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:

Ψ x , 0 = A ψ 1 x + ψ 2 x

c) Calcule ⟨ x ⟩   . Note que oscila com o tempo. Qual é a frequência angulas de oscilação? Qual é a amplitude de oscilação? (Se sua amplitude for maior do que a / 2   , vá direto para o fim.)

Passo 1

Para calcularmos o valor esperado de x , não temos para onde correr, vamos ter que fazer conta agora!

Então, para ⟨ x ⟩ , temos:

⟨ x ⟩ ( t )   = ∫ 0 a x Ψ x , t 2 d x

Abrindo as contas, chegamos em:

⟨ x ⟩ t = 1 a ∫ 0 a x sen 2 ⁡ π x a + 2  sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a cos ⁡ 3 ω t + sen 2 ⁡ 2 π x a   d x

Passo 2

Resolvendo cada integral separadamente...

A primeira fica:

∫ 0 a x sen 2 ⁡ π x a   d x = x 2 4 - x sen ⁡ 2 π x a π / a - cos ⁡ 2 π x a   8 π / a 2 0 a = a 2 4

Agora vamos para a segunda:

∫ 0 a x   sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a   d x = 1 2 ∫ 0 a x cos ⁡ π x a - c o s ⁡ ( 3 π x a ) d x

∫ 0 a x sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a   d x = a 2 π 2 cos ⁡ π x a + a x π sen ⁡ π x a - a 2 9 π 2 cos ⁡ 3 π x a - a x 3 π sen ⁡ 3 π x a 0 a

∫ 0 a x sen ⁡ π x a sen ⁡ 2 π x a   d x = - 8 a 2 9 π 2

E a terceira é muito similar à primeira:

∫ 0 a x sen 2 ⁡ 2 π x a   d x = x 2 4 - x sen ⁡ 4 π x a 2 π / a - cos ⁡ 4 π x a   8 2 π / a 2 0 a = a 2 4

Passo 3

Dessa forma, ⟨ x ⟩ fica:

⟨ x ⟩ t = 1 a   a 2 4 + a 2 4 - 16 a 2 9 π 2 c o s ⁡ ( 3 ω t )

Ou, ainda:

⟨ x ⟩ t = a 2 1 - 32 9 π 2 cos ⁡ ( 3 ω t )

Perceba que a frequência da oscilação de ⟨ x ⟩ é Ω = 3 ω e a sua amplitude é A = 16 a 9 π 2 < a 2 .

Resposta

⟨ x ⟩ t = a 2 1 - 32 9 π 2 cos ⁡ ( 3 ω t )

Ω = 3 ω

A = 16 a 9 π 2 < a 2

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