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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 49

(a) Demonstre que

¥ x , t = m ω

satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo para o potencial do oscilador harmônico (Equação 2.43). Nesse caso a é qualquer constante real com as dimensões de comprimento.

(b) Calcule 1¥(x, t)12 e descreva o movimento do pacote de onda.

(c) Calcule (x) e (p) e verifique se o teorema de Farenheit (Equação 1.38) é satisfeito.

Passo 1

A letra (a) nos pede que demonstremos que a equação satisfaz a equação de Schrodinger. Logo, nós vamos calcular a derivada em função do tempo primeiramente, tendo que:

∂ Ψ ∂ t = - m ω 2 ħ a 2 2 - 2 i ω e - 2 i ω t + i ħ m   - 2 a x - i ω   e - i ω t Ψ ,

então, simplificando, nós temos:

i ħ ∂ Ψ ∂ t = - 1 2 m a 2 ω 2 e - 2 i ω t + 1 2 ħ ω + m a x ω 2 e - 2 i ω t Ψ   .

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada segunda em função de x.

∂ Ψ ∂ x = - m ω 2 ħ ( 2 x - 2 a e - 2 i ω t ) Ψ = - m ω ħ ( x - a e - 2 i ω t ) Ψ

Calculando a derivada disso, temos:

∂ ² Ψ ∂ x ² = ∂ Ψ ∂ x - m ω ħ Ψ - m ω ħ Ψ x - a e - 2 i ω t = - m ω ħ m ω ħ   2 x - a e - 2 i ω t Ψ

Teremos, então, que:

- ħ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 Ψ = - ħ 2 2 m - m ω ħ 2 + m ω ħ 2 x - a e - i ω t 2 Ψ   + 1 2   m ω ² x ² Ψ

=   1 2   ω ħ - 1 2   m ω 2 x 2 - 2 a x e - i ω t + a 2 e - 2 i ω t + 1 2 m ω 2 x 2   Ψ

= 1 2 ħ ω + m a x ω ² e - i ω t - 1 2 m ω 2 a e - 2 i ω t   Ψ

= i ħ ∂ Ψ ∂ t

Logo, conseguimos concluir que a equação dada no enunciado satisfaz a equação de Schrodinger dependente do tempo.

Passo 3

Agora, vamos pensar na letra b, utilizando os cálculos necessários para calcular Ψ ² . Temos:

Ψ ² =   m ω π ħ * e - m ω 2 ħ x 2 + a 2 2 1 + e 2 i ω t - i ħ t m - 2 a x e i ω t + x 2 + a 2 2 1 + e - 2 i ω t + i ħ t m - 2 a x e i ω t

Simplificando,

Ψ ² =   m ω π ħ * e - m ω 2 ħ 2 x 2 + a ² + a 2 cos ⁡ 2 ω t - 4 a x c o s ( ω t )

Como a ² 1 + cos ⁡ 2 ω t = 2 a ² c o s ² ω t , logo:

Ψ ² =   m ω π ħ * e - m ω 2 ħ 2 x 2 + a 2 + a 2 cos ⁡ 2 ω t - 4 a x c o s ω t =   m ω π ħ e - m ω ħ x - acos ⁡ ω t 2

Assim, concluímos que o pacote de ondas é um gaussiano de forma fixa, cujo centro oscila para frente e para trás sinusoidalmente, com amplitude a e frequência angular ω.

Passo 4

Para a letra c, precisamos observar que essa função de onda está normalizada corretamente (assim como a Eq. 2.59). Sendo y ≡ x – a cos ωt, temos:

< x >   =     x | Ψ | ² d x = ( y   +   a   c o s   ω t ) | Ψ | ² d y   = 0 +   a   c o s   ω t   ∫   Ψ 2 d y   =   a   c o s   ω t .

< p >   =   m d < x d t   =   - m a ω sin ⁡ ω t

d < p > d t   =   - m a ω 2 cos ⁡ ω t

V   = 1 2   m ω ² x ²   = ⇒ d V d x =   m ω ² x .

< - d V d x >   = -   m ω 2 < x > =   - m ω 2 a * c o s   ω t   =   d < p > d t

Assim, provamos que o teorema é correto!!

Resposta

O teorema é correto!

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