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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 39

a) Demostre que a função de onda de uma partícula no poço quadrado infinito, volta à sua forma original após um tempo de restauração quântico T = 4 m a 2 π ℏ . Isto é Ψ ( x ,   T ) =   ψ ( x , 0 ) para qualquer estado, não somente o estado estacionário.

b) Qual o tempo de restauração clássico, para uma partícula de energia E indo e vindo entre as paredes?

c) Para qual energia os dois tempos de restauração são iguais?

Letra a

Passo 1

Letra a

De acordo com Eq. 2.36, a solução mais geral para a equação Schrödinger dependente do tempo para a quadrado infinito bem é:

Ψ ( x , t ) =   ∑ n - 1 ∞ c n ψ n ( x ) e - i ( n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 ) t

Agora para T =   4 m a 2 π ℏ , temos:

Ψ ( x , T ) =   ∑ n - 1 ∞ c n ψ n ( x ) e - i ( n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 ) 4 m a 2 π ℏ

Passo 2

Vamos analisar o expoente, da função exponencial da Ψ ( x , T ) :

n 2 π 2 ℏ 2 m a 2   4 m a 2 π ℏ =   2   π   n 2

Então, podemos expressar Ψ ( x , T ) como:

Ψ ( x , T ) =   ∑ n - 1 ∞ c n ψ n ( x ) e - i ( 2 π n 2 )

Então

Ψ x , t + T = e - i n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 t + T

=   e - i ( n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 ) t       e - i 2 π n 2

Desde que n 2 seja um inteiro, e - i 2 π n 2 =   c o s   ( 2 π n 2 ) -   i   s i n ( 2 π n 2 ) =   1 , para qualquer valor de n, logo:

Ψ x , t + T = e - i n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 t + T

=   e - i ( n 2 π 2 ℏ / 2 m a 2 ) t   . 1

Então chegamos à conclusão:

Ψ ( x , t + T ) = Ψ ( x , t )

Passo 3

Letra b

O tempo clássico de restauração é o tempo que leva a partícula para descer e voltar: T c l á s s i c o   = 2 a / v , com a velocidade dada por:

E = 1 2 m v 2 ⟹   v =   2 E m ⟹ T c =   a 2 E m

Passo 4

Letra c

Os dois tempos de restauração são iguais se:

4 m a 2 π ℏ = a 2 m E ,       o u               E = π 2 ℏ 2 8 m a 2 = E 1 4

Resposta

T c l á s s i c o =   a 2 E m         e         E = E 1 4

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