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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 16

Use a fórmula de recursão (Equação 2.84 ) para encontrar H 5 ξ e H 6 ξ . Apele para a convenção que estabelece que o coeficiente de maior potência de ξ é 2 n para corrigir a constante geral.

Passo 1

E aí, como que vai? Para determinar as funções H 5 ξ e H 6 ( ξ ) vamos utilizar a fórmula de recorrência para os coeficientes a j :

a j + 2 = - 2 n - j j + 1 j + 2   a j

Assim, para n = 5 , vem:

a 3 = - 2 5 - 1 1 + 1 1 + 2   a 1 → a 3 = - 4 3   a 1

a 5 = - 2 5 - 3 3 + 1 3 + 2   a 3 =   - 1 5   - 4 3 a 1 → a 5 = 4 15   a 1

Para j = 5 , a 7 = 0 . Assim, todos os termos seguintes se anulam. Com isso, a função H 5 toma a forma:

H 5 ( ξ ) = a 1 ξ - 4 3   a 1 ξ 3 + 4 15   a 1   ξ 5 → H 5 ( ξ ) = a 1 15   ( ξ - 20 ξ 3 + 4 ξ 5 )

Como o coeficiente de ξ 5 deve ser 2 5 = 32 , vem:

4 a 1 15 = 32 ∴ a 1 = 120

Assim, H 5 ξ fica:

H 5 ξ = 120 ξ - 160 ξ 3 + 32 ξ 5

Passo 2

Fazendo o mesmo para n = 6 , temos:

a 2 = - 2 6 - 0 0 + 1 0 + 2   a 0 = - 6 a 0 → a 2 = - 6 a 0

a 4 = - 2 6 - 2 2 + 1 2 + 2 a 2 = - 2 3   - 6 a 0 → a 4 = 4 a 0

a 6 = - 2 6 - 4 4 + 1 4 + 2   a 4 = - 2 15   4   a 0 → a 6 = - 8 15   a 0

Assim, como o coeficiente de ξ 6 deve ser 2 6 = 64 , vem:

- 8 15   a 0 = 64 ∴ a 0 = - 120

Com isso, H 6 fica:

H 6 ξ = - 120 + 720   ξ 2 - 480 ξ 4 + 64 ξ 6

Resposta

H 5 ξ = 120 ξ - 160 ξ 3 + 32 ξ 5

H 6 ξ = - 120 + 720   ξ 2 - 480 ξ 4 + 64 ξ 6

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