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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 41

Uma partícula de massa m no potencial do oscilador harmônico (Equação 2.43) inicia no estado

Ψ ( x , 0 ) =   A   1 - 2 m ω ℏ x 2   e m ω 2 ℏ x 2

para um constante A.

a) Qual é o valor esperado de energia?

b) Em algum tempo posterior T, a função de onda é

Ψ ( x , T ) =   B 1 + 2 m ω ℏ x 2   e m ω 2 ℏ x 2

Para uma constante B. Qual é o menor valor possível de T?

Passo 1

Letra a

Para escrever a função Ψ ( t , 0 ) de uma forma mais simpática, vamos adotar:

ξ ≡ m   ω / ℏ   x  

Dessa forma nossa expressão pode ser descrita como:

Ψ t , 0 = A 1 - 2 ξ 2 e - ξ 2 / 2

=   A   ( 1 -   4 ξ + 4 ξ 2 ) e - ξ 2 / 2

Pode ser expresso como uma combinação linear dos três primeiros estados estacionários (Eq. 2.59 e 2.62, e Problema 2.10):

ψ 0 x = α e - ξ 2 / 2 ,             ψ 1 x = 2 α ξ e - ξ 2 / 2   ,             ψ 2 x = α 2 ( 2 ξ 2 - 1 ) e - ξ 2 / 2      

Sendo:

α ≡ m ω / π ℏ 4

Passo 2

Assim podemos escrever nossa função de onda como:

Ψ ( t , 0 ) =   c 0   ψ 0 +   c 1   ψ 1 +   c 2   ψ 2

Ψ ( t , 0 ) =   c 0   α e - ξ 2 / 2 +   c 1   2 α ξ e - ξ 2 / 2 +   c 2   α 2 ( 2 ξ 2 - 1 ) e - ξ 2 / 2  

Ψ ( t , 0 ) = α   c 0   +   c 1   2 ξ +   c 2   2 ξ 2 - 1 2 e - ξ 2 / 2

α   e - ξ 2 / 2 )

Ψ ( t , 0 ) = α   c 0   +   c 1   2 ξ +   c 2   1 2 ( 2 ξ 2 - 1 ) e - ξ 2 / 2

Ψ ( t , 0 ) = α   c 0   +   c 1   2 ξ +   c 2   1 2 2 ξ 2 - 1 2 e - ξ 2 / 2

Passo 3

Comparando a equação Ψ ( t , 0 )   que obtivemos no passo anterior, com a que o problema traz, temos as seguintes relações:

α   2 c 2 = 4 A ⟹                                                                                                       c 2 = 2 2   A / α α   2 c 1 = - 4 A ⟹                                                                                                   c 1 = - 2 2   A / α α c 0 - c 2 / 2 = A ⟹                               c 0 = A / α + c 2 / 2 = 3 A / α

Para encontrar o valor do A vamos normalizar, assim obtemos:

1 = c 0 2 + c 1 2 + c 2 2 =   ( 8 + 8 + 9 )   ( A / α ) 2 ⟹ A = α / 5

Agora que obtivemos o valor de A, pode determinar o valor de c 0 , c 1   e     c 2 .

c 0 =   3 5 ;             c 1 = - 2 2 5 ;           c 2 = 2 2 5

Passo 4

Agora podemos calcular o valor esperado da energia.

H = ∑ c n 2   n + 1 2 ℏ ω

H =   c 0 2 0 + 1 2 ℏ ω + c 1 2 1 + 1 2 ℏ ω + c 2 2 2 + 1 2 ℏ ω

H = 9 25 1 2   ℏ ω + 8 25 3 2 ℏ ω + 8 25 5 2 ℏ ω =   73 50 ℏ ω

Passo 5

Letra b

Nos é dado a seguinte função:

Ψ ( x , T ) =   B 1 + 2 m ω ℏ x 2   e m ω 2 ℏ x 2

A equação geral é descrita conforme a equação abaixo:

Ψ ( x ,   t ) =   c 0   ψ 0 e - i ω t / 2 +   c 1   ψ 1 e - 3 i ω t / 2 +   c 2   ψ 2 e - 5 i ω t / 2

Como já temos os valores correspondentes aos coeficientes, podemos inseri-los na equação:

Ψ ( x ,   t ) =   3 5 ψ 0 e - i ω t / 2 - 2 2 5 ψ 1 e - 3 i ω t / 2 + 2 2 5 ψ 2 e - 5 i ω t / 2

Vamos reescrever as exponenciais para coloca-las em evidência:

Ψ ( x ,   t ) =   3 5 ψ 0 e - i ω t / 2   -   2 2 5 ψ 1 e - i ω t / 2 e - i ω t + 2 2 5 ψ 2 e - i ω t / 2 e - 2 i ω t

Ψ ( x ,   t ) =   e - i ω t / 2 3 5 ψ 0   -   2 2 5 ψ 1 e - i ω t + 2 2 5 ψ 2 e - 2 i ω t

Para mudar o sinal do médio prazo precisamos e - i ω T / 2 = - 1 então e - i 2 ω T = 1 , isso só é possível quando → ω T = π , ou T = π ω

Resposta

O valor esperado da energia e o tempo T são dados por:

H = 73 50 ℏ ω       e         T = π ω

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