Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 33
Determine o coeficiente de transmissão para uma barreira retangular (a mesma da Equação , mas dessa vez com na região ). Separadamente, resolva os três casos: , e (note que a função de onda dentro da barreira é diferente nos três casos). Resposta parcial: para ,
Passo 1
Fala aí, beleza? Nessa questão vamos analisar como fica o coeficiente de transmissão para os três casos possíveis. Nesse primeiro momento, vamos considerar . Assim, a função de onda fica:
Em que e . Assim, das condições de contorno, temos:
Continuidade em :
Continuidade da derivada em :
Continuidade em :
Continuidade da derivada em :
Passo 2
Das duas primeiras equações, podemos resolver para (dividindo a segunda equação por e somando as duas):
Agora, da terceira e da quarta, podemos resolver para e (dividindo a quarta por e, então, somando e depois subtraindo as duas). Assim:
Portanto, fica:
Simplificando, ficamos com:
Ou, ainda:
Dessa forma, fica:
O termo pode ser simplificado ao substituirmos os valores originais. Assim utilizando a relação fundamental da trigonometria hiperbólica, chegamos em:
Passo 3
Agora, para o caso em que , as soluções ficam:
Sendo o mesmo dos passos anteriores. Assim, das mesmas condições de contorno, chegamos em:
Que são as equações que vamos usar para determinar em função de
Passo 4
Podemos determinar facilmente em termos de e com a primeira e a terceira equações subtraindo a primeira da terceira:
Eliminando com a quarta equação, temos:
Da segunda e da quarta, temos que:
Assim, podemos eliminar , ficando apenas com e :
Portanto:
Passo 5
Para , podemos aproveitar a Equação e apenas trocar o sinal de , pois se trata da mesma situação física. Assim: