Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 31
A função delta de Dirac pode ser vista como o caso-limite de um retângulo de área , sendo que a altura vai até o infinito e a largura vai a zero. Demonstre que o poço função delta (Equação ) é um potencial ‘fraco’ (apesar de ser infinitamente profundo) no sentido de que . Determine a energia do estado ligado para o potencial função delta, tratando-o como o limite de um poço quadrado finito. Verifique se sua resposta é consistente com a Equação . Demonstre também que a Equação é reduzida à Equação no limite apropriado
Passo 1
E aí, beleza? Pra resolver essa questão vamos ter que ter certo cuidado ao tratar as variáveis. Primeiramente, vamos relacionar o potencial função delta com o poço. Note que, no potencial , corresponde à “área” do poço. Desse modo, vem que:
No limite em que . Assim, temos que:
Assim, a variável é dada por:
E, consequentemente, nesse limite, .
Passo 2
Desse modo, da equação transcendental para , vem que:
Como o também tende a zero, podemos usar a aproximação para a tangente:
Dessa forma, temos ainda que, como :
Passo 3
Agora, analisaremos novamente a relação entre e . Nesse sentido, concluímos que:
Mas, como , então , portanto, temos a seguinte relação:
Ou seja, assim, determinamos o nível de energia correspondente ao estado ligado do poço função delta:
Portanto:
Que está de acordo com a relação obtida anteriormente.
Passo 4
Agora, para o coeficiente de transmissão, como temos:
No limite em que estamos, temos que e . Portanto, o argumento do seno é:
Nesse limite, o argumento do seno é pequeno, logo podemos fazer a aproximação: . Com isso, vem:
Assim, podemos reescrever a equação acima como:
E, como , a equação se resume a:
Como foi obtido no tratamento do potencial da função delta de Dirac!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)