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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 26.3 - Ex. 13

Determine a corrente em um fio de raio R = 3,40 m m se o módulo da densidade de corrente é dado por (a) J a = J 0 R e (b) J b = J 0 ( 1 - r / R ) , onde r é a distância radial e J 0 = 5,50 × 10 4 A / m 2 . (c) Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma situação onde dada densidade de corrente do fio, deveremos encontrar sua corrente elétrica.

Passo 2

Um fio cilíndrico de raio ( R = 3.4 × 10 - 3 )   m , precisamos encontrar a corrente contida no fio se a densidade de corrente for dada por:

J a = J 0 R R

E

J b = J 0 1 - r R

Onde,

J 0 = 5.5 ∙ 10 4   A ∙ m - 2

A corrente em termos de densidade de corrente é dada por:

[ I = ∫ A J ⋅ d A ]

Mas ( d A = 2 π r   d r ) , então:

[ I = ∫ 0 R J 0 ⋅ 2 π r ⋅ 2 π r   d r ]

[ I = 2 π 2 J 0 ∫ 0 R r 2   d r ]

[ I = 2 π 2 J 0 r 3 3 0 R ]

[ I = 2 3 π 2 J 0 R 3 ]

Substituindo com os valores fornecidos, obtemos:

[ I = 2 ⋅ 5.5 × 10 4 ⋅ 3.4 × 10 - 3 2 3 = 1.332   A ]

Passo 3

Agora no item (b), a densidade de corrente é J b = J 0 ( 1 - r / R ) e, portanto:

i = ∫ J 0 1 - r R d A

i = J 0 ∫ 1 - r R d A

Passando para coordenadas cilíndricas:

i = J 0 ∫ 0 R 1 - r R 2 π r d r

i = 2 π J 0 ∫ 0 R r - r 2 R d r

i = 2 π J 0 R 2 2 - R 3 3 R

i = 2 π J 0 R 2 1 2 - 1 3

i = 1 3 J 0 π R 2

i = 1 3 5,50 ∙ 10 4 π 3,40 ∙ 10 - 3 2 = 0,666 A

agora a letra (c):

Basta substituir r = R !

Para J a

J a R = J 0

Para J b

J b R = J 0 1 - R R = 0

Então vamos ter que J a > J b na superfície.

Resposta

(a) i = 5,87 × 10 2 A

(b) i = 0,666 A (c) J a é maior perto da superfície.

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