Determine a distância do ponto à reta que passa por e paralela ao vetor . Calcule também a distância do ponto ao plano perpendicular a e que passa por .
Passo 1
E aí, beleza?? Vamos começar calculando a distância do ponto à reta. Podemos pegar um ponto genérico da reta, dado por:
Assim, a distância é:
Portanto:
Ou, ainda:
Perceba que essa é uma função do segundo grau em . O valor máximo de é dado pela relação:
Simplificando:
Substituindo os valores, chegamos em:
Passo 2
O problema para o caso da distância do ponto ao plano é parecido, mas resolveremos de uma maneira diferente. Sejam e dois vetores linearmente independentes que são perpendiculares a . Assim, um ponto sobre o plano citado é definido pela equação:
Com e pertencentes aos reais. Assim, o vetor distância do ponto a um ponto pertencente ao plano é:
No caso em que a distância é mínima, ocorre que é perpendicular ao plano, ou seja, podemos escrever:
Sendo um número real a determinar. Assim, vem:
Tomando o produto escalar com , temos:
Note que o produto escalar de com e com são nulos, pois são perpendiculares. Assim:
Com isso, determinamos a distância do ponto ao plano:
Substituindo os valores:
Resposta
(a)
(b)