Determine a equação da reta que passa por P = ( 4 ,   5 ,   - 7 ) e que é paralela à linha de intersecção dos planos 3 x - 2 y + 5 z = 10 e x + y - 2 = 4 . Determine também a equação da intersecção.

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos primeiramente determinar a linha de intersecção entre os planos, da seguinte maneira: considere inicialmente a equação do plano 2 :

x = 6 - y

Assim, inserindo essa relação na equação do plano 1, chegamos em:

18 - 3 y - 2 y + 5 z = 10

Logo:

5 y - 5 z = 8 ∴ y = z + 8 5

De maneira geral, a equação da intersecção é:

6 - x = y = z + 8 5 = t

Ou seja:

x = 6 - t

y = t

z = - 8 5 + t

A equação da reta na forma vetorial é:

r = 6,0 , - 8 5 + t - 1,1 , 1

Passo 2

Dessa maneira, a reta que passa por P e é paralela à reta encontrada no último passo é:

r ' = 4 ,   5 ,   - 7 + t - 1,1 , 1

Escrevendo em função das coordenadas cartesianas, temos:

x = 4 - t

y = 5 + t

z = - 7 + t

Ou seja:

4 - x = y - 5 = z + 7

Resposta

4 - x = y - 5 = z + 7

6 - x = y = z + 8 5 = t

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