Usando métodos vetoriais, determine: (a) o comprimento das diagonais de um cubo; (b)o ângulo das diagonais com os lados adjacentes; (c) o ângulo das diagonais com as faces adjacentes; (d) o ângulo entre as diagonais.

Passo 1

E aí, beleza?? Considere o seguinte cubo para resolução da questão:

Para o item (a), podemos determinar o valor das diagonais azul ( d 2 ) e vermelha ( d 3 ) da seguinte maneira:

d 2 → = L 1,0 , 0 + L 0,1 , 0 = L 1,1 , 0

d 3 → = L 1,0 , 0 + L 0,1 , 0 + L 0,0 , 1 = L 1,1 , 1

Portanto:

d 2 = d 2 → = L 2

d 3 = d 3 → = L 3

Passo 2

Agora, para o item (b), basta tomarmos o produto escalar com os vetores unitário em cada direção. No caso da diagonal d 2 , ela faz um ângulo de 90 ° com um dos lados e com os outros dois faz um ângulo θ igual a:

d 2 → ∙ x ^ = d 2 cos ⁡ θ = L ∴ cos ⁡ θ = 2 2

Agora o d 3 faz com os lados adjacentes um ângulo α dado por:

d 3 → ∙ x ^ = d 3 cos ⁡ α = L ∴ cos ⁡ α = 3 3

Passo 3

Para o item (c), teremos os mesmos ângulos obtidos no item anterior, pois os vetores que definem as superfícies também estão orientados ao longo dos eixos. Assim, d 2 faz 90 ° com o vetor normal a uma das faces (pertence a essa face) e faz um ângulo θ com as outras duas. Da mesma maneira, a diagonal d 3 faz um ângulo α com as três faces adjacentes.

Passo 4

Para o item ( d ) , basta tomarmos o produto escalar das diagonais:

d 2 → ∙ d 3 → = d 2 d 3 cos ⁡ β = 2 L 2

Logo:

cos ⁡ ( β ) = 2 6 ∴ cos ⁡ ( β ) = 6 3

Resposta

(a)

d 2 = d 2 → = L 2

d 3 = d 3 → = L 3

(b)

cos ⁡ θ = 2 2

cos ⁡ α = 3 3

(c) d 2 faz 90 ° com o vetor normal a uma das faces (pertence a essa face) e faz um ângulo θ com as outras duas. Da mesma maneira, a diagonal d 3 faz um ângulo α com as três faces adjacentes.

(d)

cos ⁡ ( β ) = 6 3

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