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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 46

Determine os três momentos de inércia e os três produtos de inércia do corpo da Fig. 10.16 relativamente a (a) os eixos X0, Y0 e Z0, (b) os eixos X', Y0 e Z e (c) os eixos X', Y0 e Z. Essas quantidades são sempre constantes?

Passo 1

E aiii galerinha!! Aqui, teremos que as coordenadas dos pontos A e B no sistema x0y0z0 serão:

A[-R,0,0]; B[R,0,0]

Logo,

I x 0 = 2 m [ 0 ² + 0 ² ] = 0 ;   I y 0 = 2 m [ R ² + 0 ² ] = 2 m R ² ;   I z 0 = 2 m [ R ² + 0 ² ] = 2 m R ²

Assim, como vemos que há coordenadas iguais a zero em cada um dos pontos, teremos que:

I x 0 y 0 = 0 ;   I x 0 z 0 = 0 ;   I y 0 z 0 = 0

Passo 2

Aqui, temos que as coordenadas dos pontos A e B no sistema XY0Z será:

A [ - R   s e n φ   t g   θ ,   - R   s e n φ ( c o s   θ + s e n θ   t g   θ ) ;   R   c o s φ ]

B [ R   s e n φ   t g   θ ,   R   s e n φ ( c o s   θ + s e n θ   t g   θ ) ; -   R   c o s φ ]

Assim, seguindo o mesmo que fizemos na letra a, teremos que:

I x = 2 m R ² c o s ² φ - s e n ² φ s e n ² θ ;   I x y 0 = 2 m R ² s e n φ t g θ ( c o s   θ + s e n θ t g θ ) ;   I y 0 = 2 m R ² ;

I x y = - 2 m R ²   s e n   φ   c o s φ   t g   θ ;   I z = 2 m R ² s e n ² φ ;   I y 0 z = 0

Passo 3

Aqui, temos que as coordenadas nos pontos A e B no sistema X’,Y0,Z serão:

A [ - R   s e n φ , R   c o s   φ ] ;   B [ R   s e n φ , 0 , - R c o s φ ]

Assim, teremos que:

I x ' = 2 m R ² c o s ² φ ;   I y = 2 m R ² ;   I z = 2 m R ² s e n ² φ

Assim,

I x ' y 0 = 0 ;   I x ' z = - 2 m R ² s e n φ c o s φ ;   I y 0 z = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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