Discussão da simultaneidade. (a) Prove que, se dois eventos ocorrem relativamente ao observador O nos instantes t 1 e t 2 e nas posições x 1 e x 2 , e se T = t 2 - t 1 , L = x 2 - x 1 , para o observador O ' (movendo-se relativamente a O com velocidade v ao longo do eixo X ), os eventos ocorrem nos instantes t 1 ' e t 2 ' tais que, se

T ' = t 2 ' - t 2 '

Então:

T ' = γ T - v L / c 2

(b) Eventos que parecem simultâneos relativamente a O , são, em geral, simultâneos relativamente a O ' ? Sob que condições os eventos simultâneos para O são também simultâneos para todos os outros observadores em movimento relativo uniforme? (c) Obtenha a relação entre L e T , tal que a ordem de ocorrência de dois eventos, observada por O ' , seja contrária à observada por O . (d) Suponha que, para os eventos ( x 1 , t 1 ) e ( x 2 , t 2 ) , observados por O , existe uma relação de causalidade [isto é, ( x 2 , t 2 ) é o resultado de algum sinal transmitido de ( x 1 , t 1 ) com velocidade V = L / T necessariamente igual ou menor do que c ]. Pode a ordem dos eventos parecer contrária, para O ' ? (Note que, se a resposta é sim, então a teoria exige que V > c ).

Passo 1

E aí, beleza?? Para resolver o item (a) vamos recorrer às transformadas de Lorentz:

t 2 ' = γ t 2 - v x 2 c 2

t 1 ' = γ t 1 - v x 1 c 2

Subtraindo:

t 2 ' - t 1 ' = γ t 2 - t 1 - v c 2 x 2 - x 1

Ou seja:

T ' = γ T - v L c 2

Passo 2

Para resolver o item (b), basta que analisemos a expressão obtida em (a). Note que T = 0 não implica T ' = 0 , logo, é possível que dois eventos simultâneos em um referencial não o sejam em outro.

Para que dois eventos simultâneos em O sejam simultâneos em qualquer outro referencial, estes dois devem ocorrer na mesma posição ( L = 0 ).

Passo 3

Para o item (c), queremos que a ordem dos eventos inverta. Logo, T ' < 0 :

γ T - v L c 2 < 0 ∴ T < v L c 2  

Ou seja:

L T > c 2 v

Passo 4

Para o item (d), vamos nos aproveitar do resultado do item anterior. Para que a ordem desses eventos seja invertida, teríamos:

V > c ∙ c v ⏝ > 1 ∴ V > c → I m p o s s í v e l !

Assim, conclui-se que apenas dois eventos que não possuem um efeito de causalidade podem ter sua ordem invertida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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