Duas meninas estão disputando um jogo no qual tenham acertar uma pequena caixa no chão com uma bola de gude lançada por um canhao de mola montado em uma mesa. A caixa está a uma distância horizontal D = 2,20   m da borda da mesa; veja a Fig. 8-46. Lia comprime a mola 1,10   c m , mas o centro da bola de gude cai 27,0   c m antes do centro da caixa. De quanto Rosa deve comprimir a mola para acertar a caixa? Suponha que o atrito da mola e da bola com o canhao seja desprezível.

Figura 8-46 Problema 36

Passo 1

O lançamento oblíquo da bolinha pode ser estudado de 2 formas: na horizontal, temos movimento uniforme, então a função horária será x = x o + v o t . No vertical, temos movimento uniformemente variado provocado pela gravidade, com sua função horária dada por y = y o + v o t + g t 2 2 . Tomando como referencial o topo da mesa e para baixo como positivo para y, temos x o = y o = v o y = 0 . Então

x = v o x t       e         y = g t 2 2

Isolando t em y , temos

t = 2 y g

Substituindo em x

x = v o x 2 y g

Dessa equação, podemos notar que a distância em x é proporcional a velocidade inicial do movimento, e sendo x a distância percorrida pela bolinha ( x = D ), temos

D 1 v o 1 = k

Onde k representa uma constante qualquer

Supondo que o 2° lançamento atinja a distância D , temos

D 1 v o 1 = D v o 2

v o 1 v 0 2 = D 1 D

Passo 2

A energia cinética no instante do lançamento deve ser igual a energia potencial elástica no início do movimento (lei da conservação da energia). Então

K 2 = U 1

m v o 2 2 = k x m 2 2

v o 2 = x m 2 k m

v o = x m k m

Dessa forma, nota-se que a velocidade inicial do lançamento é proporcional à compressão da mola

v o x m = k

Pode-se então retirar uma relação dos 2 lançamentos em função da velocidade inicial e da variação de comprimento da mola

v o 1 x m 1 = v o 2 x m 2

v o 1 v o 2 = x m 1 x m 2

Passo 3

Combinando as equações encontradas

x m 1 x m 2 = D 1 D

x m 2 = x m 1 D D 1

Para D = 2,2   m , D 1 = 2,2 - 0,27 = 1,93   m e x m 1 = 0,011   m .

x m 2 = 0,011 2,2 1,93

x m 2 = 0,0125   m = 1,25   c m  

Resposta

x m 2 = 1,25   c m  

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