Se duas (ou mais) soluções distintas“ para a equação de Schrödinger (independente do tempo) têm a mesma energia E, esses estados são chamados de degenerados. Por exemplo, os estados de partícula livre são duplamente degenerados: uma solução representa o movimento para a direita e, a outra, o movimento para a esquerda. Porém, nunca encontramos soluções degeneradas normalizáveis, e isso não acontece por acaso. Prove o seguinte teorema: em uma dimensão não há estados ligados degenerados. Dica: suponha que haja duas soluções, ý1 e ý2 , com a mesma energia E. Multiplique a equação de Schrödinger para , ý1por ý2 e a equação de Schrödinger para ý2 , por ý1 e subtraia uma da outra para mostrar que (ý2d ý1/ dx - ý1d ý2 /dx) é uma constante. Use as soluções normalizáveis ý0 em para demonstrar que essa constante é, na verdade, zero. Conclua que ý2, é um múltiplo de ý1 e que, portanto, as duas soluções nao são distintas.

Assim, resolvendo as derivadas e retirando as constantes, chegaremos na mesma equação final tanto para a função 1 quanto para a função 2.

Agora, vamos resolver o que está entre colchetes. Como sabemos, a derivada segunda de uma função, é a derivada da derivada da mesma. Então, temos que:

Nós sabemos que, como podemos igualar esta equação final a 0, então concluímos que esta equação será sempre constante. Por conta disso, teremos que:

Logo, temos:

Pelos conhecimentos em cálculo, fica claro que as funções de onda são dependentes e, não são distintas, já que .