Enunciado

Um elétron de 1   M e V deixa um rastro em uma câmara de bolhas. O rastro é constituído por uma série de gotas de água, cada uma delas com cerca de 10 - 5   m de diâmetro. Mostra, a partir da razão entre a incerteza no momento transverso e o momento do elétron, que a trajetória do elétron não deve diferir apreciavelmente de uma linha reta.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Podemos usar o diâmetro das bolhas de água para estimar a incerteza na posição do elétron ao longo da trajetória:

Δ x = 10 - 5   m

Com isso, recorremos ao princípio da incerteza:

Δ p   Δ x ≥ h 4 π → Δ p ≥ h 4 π Δ x

Assim, podemos estimar

Δ p ≈ h 4 π Δ x = 4,13 ⋅ 10 - 15   e V   s 4 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 5   m = 3,28 ⋅ 10 - 11   e V   s / m

Vamos guardar esse resultado!

Passo 2

Agora vamos calcular o momento p do elétron. Para isso, percebe que K = 1   M e V = 1000   k e V que é maior que a energia de repouso m c 2 = 511   k e V . Isso significa que precisamos considerar a relatividade restrita para fazer as contas!

A energia total é dada por

E = K + m c 2 = 1000   k e V + 511   k e V = 1511   k e V

Por outro lado, temos a relação

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Assim,

p c 2 = 1511   k e V 2 - 511   k e V 2

Fazendo as contas, achamos

p c = 1422   k e V

Lembrando que c = 3 ⋅ 10 8   m / s , temos

p = 1422 ⋅ 10 3   e V 3 ⋅ 10 8   m / s

Assim,

p = 474 ⋅ 10 - 5   e V   s / m

Passo 3

Seguindo a sugestão do enunciado, vamos calcular a razão Δ p / p :

Δ p p = 3,28 ⋅ 10 - 11   e V   s / m 474 ⋅ 10 - 5   e V   s / m

Fazendo a conta, obtemos

Δ p p = 6,92 ⋅ 10 - 9

Isso significa que a incerteza do momento é muito menor que o seu valor, de modo que desvios da trajetória são muito baixos. Em outras palavras, isso significa que a trajetória do elétron é aproximadamente retilínea.

Resposta

Demonstração.

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