Enunciado

Um microscópio usando fótons é utilizado para localizar um elétron em átomo em uma região de dimensão linear de 0,2 ⋅ 10 - 10   m . Qual é a incerteza na velocidade de um elétron localizado dessa forma?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora fazer mais um problema sobre princípio da incerteza?

Se o elétron está preso a uma região com dimensão linear 2 ⋅ 10 - 11   m , podemos usá-la como estimativa para a incerteza da posição

Δ x = 2 ⋅ 10 - 11   m

Com isso, podemos recorrer ao princípio da incerteza para estimar a incerteza do momento:

Δ p   Δ x ≈ h 4 π → Δ p ≈ h 4 π   Δ x

Passo 2

Para fazer comparações com valores relativísticos, é útil multiplicar a equação do passo 1 pela velocidade da luz c :

c   Δ p ≈ h c 4 π   Δ x

Usando h c = 1240   e V   n m :

c   Δ p ≈ 1240   e V   n m 4 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅ 10 - 11 = 4,93 ⋅ 10 3   e V = 4,93   k e V

A incerteza do momento (multiplicada por c ) é muito menor que a energia de repouso m c 2 = 511   k e V do elétron, de modo que podemos desprezar os efeitos relativísticos é escrever:

p = m v → Δ p = m   Δ v

Assim, temos

m c   Δ v = 4,93   k e V

Passo 3

Podemos escrever ainda:

m c 2 c Δ v = 4,93   k e V

Logo,

Δ v c = 4,93   k e V m c 2

Como m c 2 = 511   k e V , temos

Δ v c = 4,93 511 = 0,0096

Assim,

Δ v = 0,0096   c

Encontramos que a incerteza da velocidade do elétron é aproximadamente 1 % da velocidade da luz.

Resposta

Δ v = 0,0096   c

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