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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 6

Embora a constante de fase geral da função e onda não tenha nenhum significado físico (sempre se cancela quando você calcula uma quantidade mensurável), a fase relativa dos coeficientes da equação 2.17 é muito importante. Por exemplo, suponha que mudemos a fase relativa de ψ 1 e ψ 2 no problema 2.5 :

Ψ x , 0 = A ψ 1 x + e i ϕ ψ 2 x

Em que ϕ é alguma constante. Calcule Ψ x , t , Ψ x , t 2 e ⟨ x ⟩ e compare os resultados com os que você obteve antes. Analise os casos especiais ϕ = π 2 e ϕ = π . (Para uma exploração gráfica desse assunto, veja o applet da nota de rodapé n ° 7 ).

Passo 1

Fala aí, beleza?? Para resolver essa questão, vamos aproveitar alguns resultados do problema anterior.

Primeiramente, vamos mostrar que a constante de normalização A não se altera!

Para isso, vamos ao cálculo de Ψ 2 :

Ψ 2 = A 2 ψ 1 * + e - i ϕ ψ 2 * ψ 1 + e i ϕ ψ 2

Multiplicando e integrando, temos:

A 2 ∫ 0 a ψ 1 2 d x ⏝ 1 + ∫ 0 a ψ 2 2 d x ⏝ 1 + ∫ 0 a e - i ϕ ψ 1 ψ 2 * d x ⏝ 0 + ∫ 0 a e i ϕ ψ 1 * ψ 2 d x ⏝ 0 = 1

Note que os dois últimos termos se anulam, pois as funções ψ 1 e ψ 2 são ortonormais! Assim,   A fica:

2 A 2 = 1 → A = 1 2

Com isso, partimos para o cálculo de Ψ x , t , adicionando os termos dependentes do tempo:

Ψ x , t = 1 2   ψ 1 + e i ϕ ψ 2

Portanto:

Ψ x , t = 1 a e - i ω ℏ t sen ⁡ π a   x + e - 4 i ω ℏ t sen ⁡ 2 π a   x e i ϕ

Ou ainda, reorganizando os temos:

Ψ x , t = 1 a   e - i ω t sen ⁡ π a   x + e - i ( 3 ω t - ϕ ) sen ⁡ 2 π a   x  

Passo 2

Dessa maneira, pode-se notar que os resultados obtidos aqui serão os mesmos obtidos na questão anterior, porém, com a substituição 3 ω t → 3 ω t - ϕ . Assim, podemos reaproveitar a resposta da questão anterior para Ψ x , t 2 e fazer apenas a substituição, chegando em:

| Ψ x , t ​ 2 = 1 a sen 2 ⁡ π a   x + 2  sen ⁡ π a   x sen ⁡ ( 2 π a   x ) cos ⁡ 3 ω t - ϕ + sen 2 ⁡ ( 2 π a   x )

Passo 3

Por fim, vamos calcular o valor esperado de x também, apenas fazendo a substituição. Perceba que na prática, iríamos calcular as mesmas três integrais da questão anterior, com a única diferença sendo o coeficiente da segunda, que deixaria de ser c o s ⁡ ( 3 ω t ) e passaria a ser c o s ⁡ ( 3 ω t - ϕ ) . Desse modo, ficamos com:

⟨ x ⟩   =   a 2 1 - 32 9 π 2   c o s ⁡ ( 3 ω t - ϕ )

Para ϕ = π 2 , temos:

⟨ x ⟩   = a 2 1 - 32 9 π 2 sen ⁡ 3 ω t

Para ϕ = π , vem:

⟨ x ⟩   = a 2 1 + 32 9 π 2 cos ⁡ ( 3 ω t )

Resposta

Ψ x , t = 1 a   e - i ω t sen ⁡ π a   x + e - i ( 3 ω t - ϕ ) sen ⁡ 2 π a   x  

| Ψ x , t ​ 2 = 1 a sen 2 ⁡ π a   x + 2  sen ⁡ π a   x sen ⁡ ( 2 π a   x ) cos ⁡ 3 ω t - ϕ + sen 2 ⁡ ( 2 π a   x )

⟨ x ⟩   =   a 2 1 - 32 9 π 2   c o s ⁡ ( 3 ω t - ϕ )

ϕ = π 2 →     ⟨ x ⟩   = a 2 1 - 32 9 π 2 sen ⁡ 3 ω t

ϕ = π →     ⟨ x ⟩   = a 2 1 + 32 9 π 2 cos ⁡ ( 3 ω t )

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