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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 41.1 - Ex. 19

A energia de Fermi da prata é 5,5   e V . (a) Determine a probabilidade de que os seguintes níveis de energia estejam ocupados a 0 º C : (a) 4,4; (b) 5,4; (c) 5,5; (d) 5,6; (e) 6,4 eV. (f) Para que temperatura a probabilidade de que o nível de 5,6   e V esteja ocupado é 0,16 ?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar basicamente a relação de probabilidade de Fermi-Dirac e algumas pequenas manipulações para encontrarmos a temperatura para uma determinada probabilidade.

Passo 2

  1. Temos que a relação para a probabilidade é P E = 1 / ( e E - E f k ⋅ T ⋅ + 1 ) . Vamos começar calculando o termo k ⋅ T . Ele será dado por

    2. k ⋅ T = 1,381 × 10 - 23   J / K ⋅ 273   K 1,602 × 10 - 19   J / e V = 0,02353   e V

    Agora para E = 4,4   e V , E - E F k ⋅ T = 4,4   e V - 5,5   e V 0,02353   e V = - 46,25 . Assim, nossa probabilidade será

    P E = 1 e - 46,25 + 1 ≈ 1,0

    Passo 3

  2. Utilizando as mesmas relações do item anterior, mas agora com E = 5,4   e V , temos que

    3. P E = 1 e - 0,1   e V 0,02353   e V + 1 = 0,986

    Passo 4

  3. Dando um grande Ctrl+C, Ctrl+V no item anterior, teremos que

    4. P E = 1 e 0 0,02353   e V + 1 = 1 2

    Passo 5

  4. Está acabando minha criatividade, mas é a mesma ideia de copiar as mesmas equações só alterando a energia

    5. P E = 1 e 0,1   e V 0,02353   e V + 1 = 0,014

    Passo 6

  5. E pela última vez, usando a mesma equação dos itens anteriores, temos que

    6. P E = 1 e 0,9   e V 0,02353   e V + 1 = 2,447 × 10 - 17

    Passo 7

  6. Manipulando a equação de Fermi-Dirac, isolando o termo e E - E f k ⋅ T ⋅ e aplicando o logaritmo natural, chegamos que

T = E - E f k ⋅ ln ⁡ 1 P - 1 = 5,65   e V - 5,5   e V ⋅ 1,602 × 10 - 19   J / e V 1,381 × 10 - 23   J / K ⋅ ln ⁡ 1 0,16 - 1 = 699   K

Resposta

  1. P E ≈ 1,0
  2. P E = 0,986
  3. P E = 1 2
  4. P E = 0,014
  5. P E = 2,447 × 10 - 17
  6. T = 699   K
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